Distribusi Gamma

Distribusi gamma diaplikasikan dalam lamanya waktu untuk menyelesaikan pekerjaan. Distribusi gamma sering diterapkan dalam teori antrian dan teori reabiliti.

Fungsi Padat Peluang

dimana α > 0 dan β > 0

Mean
E(X) = αβ

Varian
Var(X) = αβ2

Fungsi Pembangkit Momen
Mx(t) = (1 – βt)^-α

Fungsi Karakteristik
Cx(t) = (1 – βit)^-α

Fungsi Pembangkit Peluang
Gx(t) = (1 – β ln t)^-α

Distribusi Eksponensial

Distribusi eksponensial diterapkan dalam teori reliabilitas (waktu tahan), waktu tunggu, masalah antrian dan lain-lain.

Fungsi Padat Peluang

Mean
E(X) = θ^-1

Varian
Var(X) = θ^-2

Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
Mx(t) = θ (θ – t)^-1
Fungsi Karakteristik
Cx(t) = θ (θ – it)^-1

Fungsi Pembangkit Peluang
Gx(t) = θ (θ – ln t)^-1

Distribusi Khi-Kuadrat (Chi Square)

Jika parameter α pada distribusi gamma diganti menjadi v/2, dan β diganti menjadi 2, dimana v adalah bilangan bulat positif, maka distribusi gamma tersebut akan menjadi distribusi khi-kuadrat.

Distribusi khi-kuadrat ini memiliki parameter tunggal yaitu v, atau disebut juga dengan derajat kebebasan.

Fungsi Kepadatan Peluang

Mean
µ = v

Varian
σ² = 2v
Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
Mx(t) = (1 – 2t)^-v/2
Fungsi Karakteristik
Cx(t) = (1 – 2it)^-v/2

Fungsi Pembangkit Peluang

Gx(t) = (1 – 2 ln t)^-v/2

Distribusi Weibull

Distribusi Weibull biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang menyangkut lama waktu (umur) suatu objek yang mampu bertahan hingga akhirnya objek tersebut tidak berfungsi sebagaimana mestinya (rusak atau mati).

Distribusi Weibull memiliki parameter λ dan k, dimana parameter λ dan k tersebut lebih besar dari 0.

Fungsi Kepadatan Peluang

Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah

dimana λ > 0 adalah parameter bentuk dan k > 0 adalah parameter skala. Fungsi kepadatan peluangnya adalah turunan dari fungsi distribusi kumulatifnya tersebut.

dengan demikian dapat didefinisikan fungsi kepadatan peluangnya adalah

Mean dan varian distribusi Weibull adalah

Mean dan Varian

Mean dan varian dari distribusi Weibull dapat diperoleh dengan metode momen. Proses metode momen untuk mendapatkan mean dan varian adalah sebagai berikut.

Mean

Mean diperoleh dari momen pertama E(X) = µ.

pada persamaan tersebut di misalkan

maka persamaan tersebut akan menjadi

Selanjutnya disubstitusikan dengan fungsi Gamma (baca kembali Fungsi Gamma), dimana pada fungsi Gamma

dengan demikian mean distribusi Weibull adalah

Varian

Varian diperoleh persamaan

untuk menyelesaikan persamaan tersebut harus diketahui terlebih dahulu momen kedua E(X²).

hampir sama dengan penyelesaian pada momen pertama, pada persamaan di atas juga dimisalkan

Sehingga persamaannya menjadi

Selanjutnya, dapat diketahui varian dari distribusi Waibull adalah

Distribusi Beta

Distribusi beta digunakan sebagai penaksiran kasar dari suatu missing data distribusi dari suatu proporsi.

Fungsi Padat Peluang

dimana a > 0 dan b > 0 dan fungsi beta B(a,b) adalah

Mean
E(X) = a (b + a)^-1

Varian
Var(X) = ab (a + b + 1)^-1 (b – a)^-2
Fungsi Pembangkit Momen


Fungsi Karakteristik

 

Jangkauan atau Rentang (Range)

Dalam sekelompok data kuantitatif akan terdapat data dengan nilai terbesar dan data dengan nilai terkecil. Rentang (range) atau disebut juga dengan jangkauan adalah selisih antara data dengan nilai yang terbesar dengan data denga nilai yang terkecil tersebut. \[R = x_{max} - x_{min}\] dimana $R$ adalah range (jangkauan atau rentang), $x_{max}$ adalah nilai data yang paling besar dan $x_{min}$ nilai data yang paling kecil.

Contoh Soal No. 1

Hitunglah rentang dari data \[20, 21, 19, 17, 20, 21, 23, 24, 25\] Jawab:

Data terbesar ($x_{max}$) adalah 25 dan data terkecil ($x_{min}$) adalah 17. Dengan demikian, rentang/jangkauan adalah \begin{align*} R &= x_{max} - x_{min}\\ &= 25 - 17\\ &= 8 \end{align*}
Contoh Soal No. 2

Nilai ujian akhir matakuliah statistika mahasiswa adalah \[70, 72, 69, 67, 54, 60, 49, 75, 59, 63\] Hitunglah range dari data tersebut!

Jawab:

Dari data tersebut diperoleh $x_{max}=75$ dan $x_{min}=49$. Range data tersebut adalah \begin{align*} R &= x_{max} - x_{min}\\ &= 75 - 49\\ &= 26 \end{align*}
Contoh Soal No. 3

Data banyaknya mobil yang lewat pada suatu jalan tiap jamnya adalah \[51, 35, 29, 57, 21, 40, 25, 47, 25, 53, 48, 43, 27, 34, 37\] Berapakah range dari data tersebut?

Jawab:

Diketahui $x_{max}=57$ dan $x_{min}=21$. Range data tersebut adalah \begin{align*} R &= x_{max} - x_{min}\\ &= 57 - 21\\ &= 36 \end{align*}

Rata-rata Hitung (Mean)

Rata-rata atau Mean adalah ukuran statistik kecenderungan terpusat sama halnya seperti Median dan Modus.

Rata-rata ada beberapa macam, yaitu rata-rata hitung (aritmatik), rata-rata geometrik, rata-rata harmonik dan lain-lain. Tetapi jika hanya disebut dengan kata "rata-rata" saja, maka rata-rata yang dimaksud adalah rata-rata hitung (aritmatik).

Penghitungan

Penghitungan rata-rata dilakukan dengan menjumlahkan seluruh nilai data suatu kelompok sampel, kemudian dibagi dengan jumlah sampel tersebut. Jadi jika suatu kelompok sampel acak dengan jumlah sampel \(n\), maka bisa dihitung rata-rata dari sampel tersebut dengan rumus sebagai berikut. \[ \bar{x}=\frac{1}{n} \left ( x_1+x_2+ \cdots +x_n \right ) \] Jika dinotasikan dengan notasi sigma, maka rumus di atas menjadi: \[ \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \] Keterangan:
\(\bar{x}\) = rata-rata hitung
\(x_i\) = nilai sampel ke-\(i\)
\(n\) = jumlah sampel

Contoh Penghitungan

Misalkan kita ingin mengetahui rata-rata tinggi badan siswa di suatu kelas. Kita bisa mengambil sampel misalnya sebanyak 10 siswa dan kemudian diukur tinggi badannya. Dari hasil pengukuran diperoleh data tinggi badan kesepuluh siswa tersebut dalam ukuran sentimeter (cm) sebagai berikut. \[ 172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170 \] Dari data di atas dapat dihitung rata-rata dengan menggunakan rumus rata-rata: \[ \begin{align*} \bar{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \\ &= \frac{1}{10}\left (172+167+180+170+169+160+175+165+173+170\right ) \\ &= \frac{1}{10}(1701) \\ &= 170\text{,}1 \end{align*} \] Dari hasil penghitungan, bisa diambil kesimpulan bahwa rata-rata tinggi badan siswa di kelas tersebut adalah \(170\text{,}1\) cm. Hasil tersebut bisa dibuktikan dengan menggunakan Microsoft Excel di halaman Menghitung Rata Dengan Microsoft Excel.

Contoh Soal No. 1

Hitunglah rata-rata dari data \(6, 6, 4, 6, 2, 5, 5, 6, 7, 6, 8\)!

Jawab:

Dari data tersebut dapat kita ketahui bahwa jumlah data adalah 11 \((n = 11)\). Dengan menggunakan rumus kita dapat menghitung rata-ratanya. \[ \begin{align*} \bar{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \\ &= \frac{1}{11}\left (6+6+4+6+2+5+5+6+7+6+8\right ) \\ &= \frac{1}{11}(61) \\ &\approx 5\text{,}55 \end{align*} \] Rata-rata dari data tersebut adalah \(5\text{,}55\).

Contoh Soal No. 2

Diberikan data sebagai berikut: \(4, 3, 5, 4, 6, 3, 6, 7, 8, 7, 8, 8\). Hitunglah rata-ratanya!

Jawab:

Banyaknya data di atas adalah 12 \((n = 12)\). Rata-rata dari data di atas adalah
\[ \begin{align*} \bar{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \\ &= \frac{1}{12}\left (4+3+5+4+6+3+6+7+8+7+8+8\right ) \\ &= \frac{1}{12}(69) \\ &= 5\text{,}75 \end{align*} \] Rata-rata dari data tersebut adalah \(5\text{,}75\).

Contoh Soal No. 3

Rata-rata nilai ujian matakuliah statistika 29 orang mahasiswa adalah 70. Ketika nilai ujian matakuliah statistika milik Andi digabungkan dengan nilai-nilai mahasiswa tersebut, rata-rata nilai naik menjadi 71. Berapakah nilai Andi tersebut?

Jawab:

Soal tersebut dapat diselesaikan dengan menambahkan total keseluruhan nilai mahasiswa dengan nilai Andi kemudian dibagi dengan jumlah mahasiswa yang nilainya dijumlahkan (termasuk Andi).

Dari soal diketahui jumlah mahasiswa sebelum nilai Andi dimasukkan adalah 29 \((n = 29)\) dan rata-ratanya adalah 70 \((\bar{x} = 70)\). Total keseluruhan nilai mahasiswa sebelum nilai Andi dimasukkan adalah \[ \begin{align*} \bar{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \\ 70 &= \frac{1}{29}\left (x_1+x_2+ \cdots +x_{29}\right ) \\ 70 \times 29 &= \left (x_1+x_2+ \cdots +x_{29}\right ) \\ \left (x_1+x_2+ \cdots +x_{29}\right ) &= 2030 \end{align*} \] Dengan masuknya nilai Andi, jumlah mahasiswa bertambah menjadi 30 \((n = 30)\) dan rata-rata nilainya naik menjadi 71 \((\bar{x} = 71)\). Selanjutnya nilai Andi dapat diketahui dengan memasukkan komponen yang baru tersebut pada rumus rata-rata. \[ \begin{align*} \bar{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \\ 71 &= \frac{1}{30}\left (x_1+x_2+ \cdots +x_{29}+x_{30}\right ) \\ 71 \times 30 &= \left (x_1+x_2+ \cdots +x_{29}+x_{30}\right ) \\ 2130 &= \left (2030+x_{30}\right ) \\ x_{30} &= 2130-2030 \\ &= 100 \end{align*} \] Dengan demikian, nilai rata-rata Andi adalah \(100\).

Contoh Soal No. 4

Berikut ini adalah data nilai mahasiswa untuk mata kuliah statistika, nilai mahasiswa diurutkan dari yang terendah ke yang tertinggi: \[4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 9\] Menurut pertimbangan dosen, mahasiswa harus mengulang ujian kembali untuk memperbaiki nilai apabila nilai yang mereka dapatkan berada di bawah rata-rata. Berapa orangkah yang harus memperbaiki nilainya tersebut?

Jawab:

Sebelum menghitung jumlah mahasiswa yang harus memperbaiki nilainya, kita harus menghitung dulu rata-rata nilai tersebut. Diketahui banyaknya data adalah 20 \((n = 20)\), sehingga nilai rata-ratanya dapat dihitung sebagai berikut. \[ \begin{align*} \bar{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \\ &= \frac{1}{20}\left (4+4+ \cdots +9\right ) \\ &= \frac{1}{20} (120) \\ &= 6 \end{align*} \] Rata-rata nilai mahasiswa adalah 6, dengan demikian mahasiswa yang harus mengulang ujian adalah mahasiswa yang nilainya berada di bawah 6. Jumlah mahasiswa yang nilainya di bawah 6 adalah 8 orang.

Contoh Soal No. 5

Sebuah keluarga memiliki 8 orang anak, yaitu A, B, C, D, E, F, G, H. Umur A adalah \(2x+1\) tahun, umur B adalah \(x+1\) tahun, umur C, D, E, F, G dan H berturut-turut adalah \(x+2\), \(x+3\), \(x+4\), \(x+5\), \(x+6\) dan \(x+7\) tahun. Jika rata-rata umur semua anak tersebut adalah \(7\). Berapakah umur A?

Jawab:

Umur A adalah \(2x+1\), dimana untuk menghitungnya, nilai \(x\) harus kita ketahui terlebih dahulu. Dari soal diketahui rata-rata umur adalah 7 dan banyaknya data adalah 8 \((n=8)\). Jika komponen-komponen yang diketahui dalam soal di atas dimasukkan ke dalam rumus rata-rata, maka \[ \begin{align*} \bar{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \\ 7 &= \frac{1}{8}\left ((2x+1)+(x+1)+(x+2)+ \cdots +(x+7)\right ) \\ 9x+29 &= 7 \times 8 \\ 9x &= 56-29 \\ x &= \frac{27}{9} \\ &= 3 \end{align*} \] Nilai \(x\) adalah 3, dengan demikian umur A adalah \(2(3)+1=7\) tahun.