Distribusi Binomial Negatif

Distribusi binomial negatif adalah distribusi hasil percobaan bernoulli yang diulang sampai mendapatkan sukses ke-\(k\).

Fungsi Padat Peluang
\[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle \binom{x-1}{k-1}p^k \left( 1-p\right)^{x-k} &\;\; x=k,k+1,k+2,... \\\\ 0 &\;\;\;\text{lainnya} \end{cases} \] Keterangan notasi:
\(p\) = peluang sukses
\(x\) = jumlah percobaan sampai mendapatkan sukses ke-\(k\)
\(k\) = jumlah sukses yang muncul

Mean

Mean dari distribusi binomial negatif adalah \( \displaystyle E(X) = \frac {k}{p}.\)

Bukti: \begin{align*} E(X)&= \sum_{x=k}^\infty xf(x) \\ &= \sum_{x=k}^\infty x \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!}p^k \left( 1-p\right)^{x-k}\\ &= \sum_{x=k}^\infty \frac{kx!}{k!(x-k)!} \frac {p^{k+1}}{p}(1-p)^{x-k}\\ &= \frac {k}{p} \sum_{x=k}^\infty \frac{x!}{k!(x-k)!} p^{k+1} (1-p)^{x-k}\\ &= \frac {k}{p} \end{align*}

Varian

Varian dati distribusi binomial negatif adalah \( \displaystyle Var(X)=\frac {k(1-p)}{p^2}.\)

Bukti: \begin{align*} Var(X)&=E\left (\left[X-E(X)\right]^2\right )\\ &=E(X^2)-\left [E(X) \right ]^2 \end{align*} Untuk menyelesaikannya, tentukan bagian yang belum diketahui terlebih dahulu, yaitu \( E(X^2).\) \begin{align*} E(X^2) &= E(X^2)+E(X)-E(X)\\ &= E(X^2+X)-E(X)\\ &= E\left (X(X+1)\right )-E(X) \end{align*} Selesaikan bagian \( E\left ( X(X+1) \right ).\) \begin{align*} E(X(X+1)) &= \sum_{x=k}^\infty x(x+1)f(x)\\ &= \sum_{x=k}^\infty x(x+1) \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!}p^k \left( 1-p\right)^{x-k}\\ &= \sum_{x=k}^\infty \frac {k(k+1)(x+1)!}{(k+1)!(x-k)!} \frac {p^{k+2}}{p^2} \left(1-p\right)^{x-k}\\ &= \frac {k(k+1)}{p^2} \sum_{x=k}^\infty \frac {(x+1)!}{(k+1)!(x-k)!} p^{k+2} \left(1-p\right)^{x-k}\\ &= \frac {k(k+1)}{p^2}\end{align*} Selanjutnya, \begin{align*} E(X^2) &= \frac {k(k+1)}{p^2} - \frac {k}{p}\\ &= \frac {k^2+k-kp}{p^2} \end{align*} Dengan demikian, \begin{align*} Var(X) &= \frac {k^2+k-kp}{p^2} - \left (\frac {k}{p} \right )^2\\ &= \frac {k(1-p)}{p^2} \end{align*}

Fungsi Pembangkit Momen (MGF)

Fungsi pembangkit momen distribusi binomial negatif adalah \( \displaystyle M_x(t)= \left ( \frac {pe^t}{1-(1-p)e^t} \right )^k\)

Bukti: \begin{align*} M_x(t) &= E(e^{tX}\\ &= \sum_{x=k}^\infty e^{tX} \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!}p^k \left( 1-p \right )^{x-k}\\ &= \sum_{x=k}^\infty \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!} \left ( pe^t \right )^k \left ( (1-p)e^t \right )^{x-k}\\ &= \left ( \frac {pe^t}{1-(1-p)e^t} \right )^k \sum_{x=k}^\infty \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!} \left ( (1-p)e^t \right )^{x-k} \left ( 1-(1-p)e^t \right )^k\\ &= \left ( \frac {pe^t}{1-(1-p)e^t} \right )^k \end{align*}

Fungsi Karakteristik



Fungsi Pembangkit Peluang

Rumus Peluang Gabungan Tiga Kejadian

Keterangan:
P(A) : Peluang kejadian A
P(B) : Peluang kejadian B
P(C) : Peluang kejadian C
 : Peluang kejadian A irisan B
 : Peluang kejadian A irisan C
 : Peluang kejadian B irisan C
 : Peluang kejadian A irisan B irisan C

Peluang Gabungan Dua Kejadian Saling Lepas

Peluang Dua Kejadian

Peluang gabungan dua kejadiann dirumuskan oleh

\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \] Keterangan: \(P(A)\) : Peluang kejadian A \(P(B)\) : Peluang kejadian B \(P(A\cap B)\) : Peluang kejadian A irisan B

Soal dan Pembahasan

Contoh Soal #1

Peluang Andi lulus mata kuliah Matematika adalah 1/3 dan peluang lulus mata kuliah Statistika adalah 1/4. Jika peluang lulus kedua mata kuliah tersebut adalah 1/6. Berapakah peluang lulus salah satu mata kuliah tersebut?

Jawab

Diketahui \(P(A)=\frac{1}{3},\) \(P(B)=\frac{1}{4}\) dan \(P(A\cap B)=\frac{1}{6},\) maka peluang gabungan \(P(A\cup B)\) adalah \[ \begin{aligned} P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\\ &=\frac{5}{12} \end{aligned} \]
Contoh Soal #2

Seorang siswa sedang mengambil dua mata pelajaran, sejarah dan matematika. Probabilitas siswa lulus mata pelajaran sejarah adalah 0,60 dan probabilitas siswa lulus mata pelajaran matematika adalah 0,70. Probabilitas lulus keduanya adalah 0,50. Berapa probabilitas lulus sedikitnya satu mata pelajaran?

Jawab

Diketahui \(P(A)=0\text{,}6,\) \(P(B)=0\text{,}7\) dan \(P(A\cap B)=0\text{,}5,\) selanjutnya gunakan rumus peluang gabungan dua kejadian \[ \begin{aligned} P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ &=0\text{,}6+0\text{,}7-0\text{,}5\\ &=0\text{,}8 \end{aligned} \]

Peluang Dua Kejadian Saling Lepas

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Keterangan:
P(A) : Peluang kejadian A
P(B) : Peluang kejadian B

Laju Pertumbuhan Penduduk Eksponensial

Laju pertumbuhan penduduk adalah perubahan jumlah penduduk di suatu wilayah tertentu setiap tahunnya. Kegunaannya adalah memprediksi jumlah penduduk suatu wilayah di masa yang akan datang.

Laju pertumbuhan penduduk eksponensial menggunakan asumsi bahwa pertumbuhan penduduk berlangsung terus-menerus akibat adanya kelahiran dan kematian di setiap waktu.

Rumus laju pertumbuhan penduduk eksponensial adalah sebagai berikut.

atau

Keterangan:

Pt = Jumlah penduduk pada tahun ke-t

Po = Jumlah penduduk pada tahun dasar

t =  jangka waktu

r =  laju pertumbuhan penduduk

e = bilangan eksponensial yang besarnya 2,718281828

Jika nilai r > 0, artinya terjadi pertumbuhan penduduk yang positif atau terjadi penambahan jumlah penduduk dari tahun sebelumnya. Jika r < 0, artinya pertumbuhan penduduk negatif atau terjadi pengurangan jumlah penduduk dari tahun sebelumnya. Jika r = 0, artinya tidak terjadi perubahan jumlah penduduk dari tahun sebelumnya. 

Contoh Soal No. 1

Pada tahun 2000, jumlah penduduk Kabupaten A adalah 206.730 jiwa. Kemudian pada tahun 2010, jumlah penduduk Kabupaten A menjadi 278.741 jiwa. Berapakah laju pertumbuhan penduduk eksponensial Kabupaten A per tahun?

Jawab:

Dari soal tersebut, diketahui:

Po = 206.730

Pt = 278.741

t = 2010 – 2000 = 10

Selanjutnya dengan menggunakan rumus laju pertumbuhan penduduk eksponensial, bisa diketahui laju pertumbuhan penduduk per tahun Kabupaten A, yaitu sebagai berikut.

Sehingga laju pertumbuhan penduduk eksponensial Kabupaten A per tahunnya adalah 0,0299 atau 2,99 persen.

Contoh Soal No. 2

Pada tahun 2010, jumlah penduduk Kabupaten A adalah 278.741 jiwa. Berapakah perkiraan jumlah penduduk Kabupaten A pada tahun 2020, jika diketahui laju pertumbuhan penduduk eksponensialnya adalah 2,99 persen.

Jawab:

Diketahui:

Po = 278.741

t = 2020 – 2010 = 10

r = 2,99 persen atau 0,0299

Dengan menggunakan rumus estimasi jumlah penduduk di atas, bisa kita perkirakan jumlah penduduk pada tahun 2020 yaitu

Berdasarkan penghitungan, perkiraan jumlah penduduk Kabupaten A pada tahun 2020 adalah 375.885 jiwa.

Contoh Soal No. 3

Jumlah penduduk Kabupaten B tercatat 250.000 jiwa pada tahun 2012 dan diperkirakan menjadi 300.000 jiwa pada tahun 2016.

1. Berapa persenkah pertumbuhan penduduk tersebut?
2. Pada tahun ke berapa jumlah penduduk menjadi 500.000 jiwa?

Jawab:

Diketahui bahwa Po = 250.000, Pt = 300.000, t = 2016 – 2012 = 4. Dari rincian tersebut kita dapat menjawab pertanyaan 3.1 dan dilanjutkan dengan pertanyaan 3.2.

Jawaban 3.1
Persentase pertumbuhan penduduk dihitung menggunakan rumus pertumbuhan penduduk.

Laju pertumbuhan penduduk Kabupaten B pada tahun 2012 – 2016 adalah 4,56 persen.

Jawaban 3.2

Pada pertanyaan 3.2 diketahui bahwa penduduk Kabupaten B akan menjadi 500.000 jiwa setelah t tahun sejak 2012. Dengan demikian, dapat dapat kita tulis Pt = 500.000 dan Po = 250.000.

Rumus yang digunakan serta proses penghitungannya adalah sebagai berikut.

Dari hasil penghitungan, dapat kita ketahui bahwa jumlah penduduk Kabupaten B akan menjadi 500.000 jiwa setelah 15 tahun sejak tahun 2012, yaitu pada tahun 2027.

Contoh Soal No. 4

Pada tahun 2008 jumlah penduduk Kabupaten C adalah 180.000 jiwa dan laju pertumbuhan penduduk pertahunnya adalah 1,78%.

1. Hitunglah jumlah penduduk Kabupaten C pada tahun 2008?
2. Pada tahun berapakah jumlah penduduk Kabupaten C mencapai 250.000 jiwa?

Jawab:

Diketahui jumlah penduduk tahun dasar Po = 180.000 dan laju pertumbuhan penduduk r = 0,0178.

Jawaban 4.1
Penduduk yang akan diestimasi adalah penduduk tahun 2018, sehingga jangka waktu estimasi t = 2018 – 2008 = 10 tahun. Dengan menggunakan rumus menghitung laju pertumbuhan penduduk, maka 

Dari penghitungan tersebut, estimasi jumlah penduduk Kabupaten C pada tahun 2018 adalah 215.069 jiwa.

Jawaban 4.2

Pada persoalan 4.2 ini, ingin diketahui tahun ketika jumlah penduduk Kabupaten C mencapai 250.000 jiwa. Cara mencarinya adalah sebagai berikut.

Dari hasil perhitungan tersebut, jumlah penduduk Kabupaten C akan mencapai 250.000 jiwa setelah 18 tahun kemudian sejak tahun 2008, yaitu pada tahun 2026.

Sifat-sifat dari Notasi Sigma (∑)

Sigma (∑) merupakan aksara ke-18 dalam susunan abjad Yunani. Dalam ilmu matematika dan statistik, notasi sigma digunakan untuk mempersingkat suatu urutan penjumlahan. Misalkan penjumlahan 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² = 91. Penjumlahan tersebut bisa disingkat menjadi:

Dalam mempelajari statistik, wajib hukumnya memahami sifat dari notasi sigma. Dalam ilmu statistik, notasi ini adalah notasi yang paling sering digunakan. Saking seringnya, ketika seseorang melihat notasi sigma ini, ia akan langsung teringat dengan statistik.

Berikut ini adalah beberapa sifat dari sigma yang sering digunakan.

   

Pengertian Permutasi dan Kombinasi

Sebelum mengetahui pengertian permutasi dan kombinasi ada baiknya kita terlebih dahulu mengetahui pengertian dari faktorial. Sebab setiap penghitungan permutasi dan kombinasi tidak terlepas dari penghitungan faktorial.

Faktorial adalah perkalian suatu bilangan bulat positif dengan semua bilangan bulat positif lain yang kurang dari bilangan bulat tersebut. Lambang faktorial berupa tanda seru (!). Sebagai contoh faktorial dari 7 adalah 7! = 1x2x3x4x5x6x7

Permutasi adalah susunan atau urutan-urutan yang berbeda satu sama lain yang terbentuk dari sebagian atau seluruh objek. Rumus permutasi adalah sebagai berikut.

Kombinasi adalah kumpulan sebagian atau seluruh objek tanpa memperhatikan urutannya. Rumus kombinasi adalah sebagai berikut.

Dasar Dasar Himpunan

Pelajaran himpunan lebih mudah dipelajari bila digambarkan dalam Diagram Venn. Diagram Venn adalah diagram yang menggambarkan hubungan antara kejadian-kejadian dan semestanya. Untuk mempelajari lebih jauh mengenai himpunan lebih baik kita terlebih dahulu mengetahui konsep-konsep umum dalam himpunan.

Ruang Sampel adalah semua hasil yang memiliki kemungkinan terjadi dalam suatu percobaan. Ruang sampel biasanya diberi lambang S atau T.

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Biasanya diberi dengan lambang A, B atau huruf kapital lainnya selain lambang ruang sampel (S).

Komplemen adalah himpunan yang unsur-unsur bukan unsur kejadian.Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan A = {2, 4} maka komplemen dari A adalah yang bukan A yaitu A' = { 1, 3, 5,6}.

Irisan (∩) adalah semua unsur kejadian yang masuk ke dalam sebuah himpunan dan juga masuk ke dalam himpunan lainnya. Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4} dan B = {1, 4, 6}, maka irisan dari A dan B adalah A∩B = {4}.

Gabungan (U) adalah semua unsur yang ada dalam dua atau lebih himpunan. Misalkan S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4} dan B = {1, 4, 6}, maka gabungan dari A dan B adalah AUB = {1, 2, 4, 6}.

Ruang Sampel dan Titik Sampel

Ruang Sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan/kejadian. Misalnya:

1. Sebuah dadu dilempar ke atas, maka kemungkinan mata dadu yang muncul paling atas adalah 1, 2, 3, 4, 5 atau 6. Sehingga ruang sampel dari mata dadu yang muncul paling atas pada pelemparan sebuah dadu adalah 1, 2, 3, 4, 5 dan 6.
2. Suatu pabrik memproduksi sejenis produk kesehatan. Kemungkinan produk yang dihasilkan adalah produk yang “cacat” dan “tidak cacat”. Sehingga ruang sampel dari sebuah produk yang dihasilkan oleh pabrik tersebut adalah produk yang "cacat" dan produk yang "tidak cacat".
3. Sebuah koin dilempar ke atas. Setelah jatuh, maka kemungkinan sisi yang muncul paling atas adalah “Gambar” atau “Angka”. Sehingga ruang sampel dari sisi yang muncul pada pelemparan sebuah koin adalah "Angka" dan "Gambar".

Ruang sampel secara matematis biasanya dilambangkan dengan T. Sehingga ruang sampel pada contoh di atas bisa ditulis seperti di bawah ini.

1. Ruang sampel sisi yang muncul pada sebuah dadu yang dilempar, T = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2. Ruang sampel produk yang dihasilkan sebuah pabrik, T = {Cacat, Tidak Cacat}
3. Ruang sampel sisi yang muncul pada sebuah koin yang dilempar, T = {Angka, Gambar}

Kemungkinan-kemungkinan yang akan muncul dalam ruang sampel disebut juga dengan Titik Sampel. Sehingga titik sampel merupakan unsur atau anggota dari ruang sampel.

Agar titik-titik sampel dalam suatu ruang sampel bisa tersusun dengan baik, maka pencatatannya bisa dibantu dengan menggunakan Diagram Pohon.

Matriks, Vektor dan Skalar

Matriks 

adalah susunan angka-angka dalam bentuk bujur sangkar atau persegi panjang yang diapit oleh tanda kurung. Semua bilangan yang ada dalam matriks adalah bilangan real. Matriks dinotasikan dengan huruf kapital dan dicetak tebal.

Matriks A di atas memiliki n baris dan p kolom. Matriks A biasa disebut juga dengan matriks yang berukuran n×p. Notasi a_ij dalam matriks menunjukkan elemen matriks baris ke-i dan kolom ke-j.

Di bawah ini adalah beberapa buah contoh matriks.

Matriks B merupakan matriks berukuran 3×4, matriks C berukuran 3×3 dan matriks D berukuran 4×3.

Vektor 

adalah matriks yang hanya memiliki satu kolom saja atau hanya memiliki satu baris saja. Vektor dinotasikan dengan huruf kecil dan dicetak tebal. Penulisan vektor adalah sebagai berikut.

Vektor tersebut dapat ditulis juga dalam bentuk transpose vektor yaitu 

atau bisa juga ditulis dalam bentuk

Berikut ini adalah beberapa buah contoh vektor.

Skalar 

adalah matriks yang hanya memiliki satu kolom dan satu baris. Misalnya adalah 10, -7 dan 116. Bilangan-bilangan tersebut termasuk ke dalam skalar.

Ilmu statistik sering kali menggunakan matriks, vektor dan skalar untuk mempermudah penyelesaian berbagai persoalan statistik, misalnya penyelesaian pada persoalan model linier. Dalam model linier, variabel-variabel dan elemen-elemen data biasanya disusun dalam bentuk matriks.

Matriks dengan Bentuk Khusus dan Transpose Matriks

1. Vektor dan Skalar
Vektor dan skalar termasuk ke dalam matriks dengan bentuk khusus dimana vektor adalah matriks yang hanya memiliki satu baris atau satu kolom saja, sedangkan skalar adalah matriks yang hanya memiliki satu baris dan satu kolom.

2. Matriks Bujur Sangkar
Matriks bujur sangkar adalah matriks yang memiliki banyaknya elemen baris yang sama dengan banyaknya elemen kolom. Dengan demikian matriks bujur sangkar berukuran p×p.

Contoh matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut.

3. Matriks Diagonal
Matriks diagonal merupakan matriks bujur sangkar dimana elemen selain elemen diagonal utamanya bernilai 0. Yang dimaksud dengan elemen diagonal utama adalah elemen-elemen a₁₁, a₂₂, … , a_pp.

Matriks diagonal biasanya juga ditulis dalam bentuk

Matriks diagonal dapat dibentuk dari matriks bujur sangkar dengan mengganti elemen selain elemen diagonal utama menjadi 0.

4. Matriks Identitas
Matriks identitas adalah matriks diagonal dimana semua elemen pada diagonal utamanya bernilai 1. Matriks identitas biasanya dinotasikan dengan I. Bentuk matriks identitas dengan ukuran p×p adalah sebagai berikut.

Matriks identitas memiliki sifat khusus dimana perkalian sebuah matriks dengan matriks identitas akan sama dengan matriks awalnya.

5. Matriks Skalar

Matriks skalar adalah matriks diagonal dimana semua elemen pada diagonal utamanya bernilai sama.

Contoh matriks skalar adalah sebagai berikut.

6. Matriks Simetris

Matriks simetris adalah matriks bujur sangkar yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya tercermin ke bawah diagonal utamanya, sehingga diagonal utamanya merupakan garis simetris untuk matriks tersebut. 

Matriks simetris memiliki sifat dimana transpose matriks-nya sama dengan matriks awalnya.

7. Matriks 1

Matriks 1 merupakan matriks bujur sangkar dimana semua elemennya bernilai 1.

Jika semua elemen pada suatu vektor memiliki nilai 1, maka vektor tersebut disebut juga dengan vektor 1.

8. Matriks O

Matriks O merupakan matriks bujur sangkar yang semua elemennya bernilai 0.

Jika semua elemen pada suatu vektor memiliki nilai 0, maka vektor tersebut disebut juga dengan vektor o. 

9. Matriks Segitiga Atas

Matriks segitiga atas adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen yang ada di bawah diagonal utamanya bernilai 0. Contoh matriks segitiga atas adalah sebagai berikut.

10. Matriks Segitiga Bawah

Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur sangkar yang semua elemen yang ada di atas diagonal utamanya bernilai 0. Contoh matriks segitiga bawah adalah sebagai berikut.

11. Matriks Antisimetris

Matriks antisimetris adalah matriks yang elemen matriksnya akan berubah tanda menjadi negatif atau positif ketika matriks tersebut di-transpose-kan. Contoh matriks antiimetris adalah sebagai berikut.

Transpose matriks adalah sebuah matriks baru yang terbentuk dari pertukaran tempat baris dan kolom pada matriks awal. Transpose matriks A dinotasikan dengan A'.

Baris pada matriks A akan menjadi kolom pada matriks A', kolom pada matriks A akan menjadi baris pada matriks A'. Jika matriks A berukuran n×p, maka matriks A’ akan berukuran p×n.

Transpose Matriks

Operasi transpose hanya terdapat pada matriks dan vektor. Pada skalar tidak dilakukan operasi transpose karena skalar hanya memiliki satu baris dan satu kolom, sehingga transpose pada skalar sama dengan skalar tersebut.

Berikut ini adalah contoh dari operasi transpose pada matriks dan vektor.

Jika operasi transpose pada sebuah matriks menghasilkan matriks awalnya, maka matriks tersebut disebut dengan matriks simetris.

Contoh matriks simetris adalah sebagai berikut.

Semua matriks simetris adalah matriks bujur sangkar.

Jika operasi transpose dilakukan dua kali pada semua bentuk matriks dan vektor maka akan menghasilkan matriks awalnya.