Distribusi Gamma

Distribusi gamma diaplikasikan dalam lamanya waktu untuk menyelesaikan pekerjaan. Distribusi gamma sering diterapkan dalam teori antrian dan teori reabiliti.

Fungsi Padat Peluang

dimana α > 0 dan β > 0

Mean
E(X) = αβ

Varian
Var(X) = αβ2

Fungsi Pembangkit Momen
Mx(t) = (1 – βt)^-α

Fungsi Karakteristik
Cx(t) = (1 – βit)^-α

Fungsi Pembangkit Peluang
Gx(t) = (1 – β ln t)^-α

Distribusi Eksponensial

Distribusi eksponensial diterapkan dalam teori reliabilitas (waktu tahan), waktu tunggu, masalah antrian dan lain-lain.

Fungsi Padat Peluang

Mean
E(X) = θ^-1

Varian
Var(X) = θ^-2

Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
Mx(t) = θ (θ – t)^-1
Fungsi Karakteristik
Cx(t) = θ (θ – it)^-1

Fungsi Pembangkit Peluang
Gx(t) = θ (θ – ln t)^-1

Distribusi Khi-Kuadrat (Chi Square)

Jika parameter α pada distribusi gamma diganti menjadi v/2, dan β diganti menjadi 2, dimana v adalah bilangan bulat positif, maka distribusi gamma tersebut akan menjadi distribusi khi-kuadrat.

Distribusi khi-kuadrat ini memiliki parameter tunggal yaitu v, atau disebut juga dengan derajat kebebasan.

Fungsi Kepadatan Peluang

Mean
µ = v

Varian
σ² = 2v
Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
Mx(t) = (1 – 2t)^-v/2
Fungsi Karakteristik
Cx(t) = (1 – 2it)^-v/2

Fungsi Pembangkit Peluang

Gx(t) = (1 – 2 ln t)^-v/2

Distribusi Weibull

Distribusi Weibull biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang menyangkut lama waktu (umur) suatu objek yang mampu bertahan hingga akhirnya objek tersebut tidak berfungsi sebagaimana mestinya (rusak atau mati).

Distribusi Weibull memiliki parameter λ dan k, dimana parameter λ dan k tersebut lebih besar dari 0.

Fungsi Kepadatan Peluang

Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah

dimana λ > 0 adalah parameter bentuk dan k > 0 adalah parameter skala. Fungsi kepadatan peluangnya adalah turunan dari fungsi distribusi kumulatifnya tersebut.

dengan demikian dapat didefinisikan fungsi kepadatan peluangnya adalah

Mean dan varian distribusi Weibull adalah

Mean dan Varian

Mean dan varian dari distribusi Weibull dapat diperoleh dengan metode momen. Proses metode momen untuk mendapatkan mean dan varian adalah sebagai berikut.

Mean

Mean diperoleh dari momen pertama E(X) = µ.

pada persamaan tersebut di misalkan

maka persamaan tersebut akan menjadi

Selanjutnya disubstitusikan dengan fungsi Gamma (baca kembali Fungsi Gamma), dimana pada fungsi Gamma

dengan demikian mean distribusi Weibull adalah

Varian

Varian diperoleh persamaan

untuk menyelesaikan persamaan tersebut harus diketahui terlebih dahulu momen kedua E(X²).

hampir sama dengan penyelesaian pada momen pertama, pada persamaan di atas juga dimisalkan

Sehingga persamaannya menjadi

Selanjutnya, dapat diketahui varian dari distribusi Waibull adalah

Distribusi Beta

Distribusi beta digunakan sebagai penaksiran kasar dari suatu missing data distribusi dari suatu proporsi.

Fungsi Padat Peluang

dimana a > 0 dan b > 0 dan fungsi beta B(a,b) adalah

Mean
E(X) = a (b + a)^-1

Varian
Var(X) = ab (a + b + 1)^-1 (b – a)^-2
Fungsi Pembangkit Momen


Fungsi Karakteristik

 

Jangkauan atau Rentang (Range)

Dalam sekelompok data kuantitatif akan terdapat data dengan nilai terbesar dan data dengan nilai terkecil. Rentang (range) atau disebut juga dengan jangkauan adalah selisih antara data dengan nilai yang terbesar dengan data denga nilai yang terkecil tersebut. \[R = x_{max} - x_{min}\] dimana $R$ adalah range (jangkauan atau rentang), $x_{max}$ adalah nilai data yang paling besar dan $x_{min}$ nilai data yang paling kecil.

Contoh Soal No. 1

Hitunglah rentang dari data \[20, 21, 19, 17, 20, 21, 23, 24, 25\] Jawab:

Data terbesar ($x_{max}$) adalah 25 dan data terkecil ($x_{min}$) adalah 17. Dengan demikian, rentang/jangkauan adalah \begin{align*} R &= x_{max} - x_{min}\\ &= 25 - 17\\ &= 8 \end{align*}
Contoh Soal No. 2

Nilai ujian akhir matakuliah statistika mahasiswa adalah \[70, 72, 69, 67, 54, 60, 49, 75, 59, 63\] Hitunglah range dari data tersebut!

Jawab:

Dari data tersebut diperoleh $x_{max}=75$ dan $x_{min}=49$. Range data tersebut adalah \begin{align*} R &= x_{max} - x_{min}\\ &= 75 - 49\\ &= 26 \end{align*}
Contoh Soal No. 3

Data banyaknya mobil yang lewat pada suatu jalan tiap jamnya adalah \[51, 35, 29, 57, 21, 40, 25, 47, 25, 53, 48, 43, 27, 34, 37\] Berapakah range dari data tersebut?

Jawab:

Diketahui $x_{max}=57$ dan $x_{min}=21$. Range data tersebut adalah \begin{align*} R &= x_{max} - x_{min}\\ &= 57 - 21\\ &= 36 \end{align*}

Rata-rata Hitung (Mean)

Rata-rata atau Mean adalah ukuran statistik kecenderungan terpusat sama halnya seperti Median dan Modus.

Rata-rata ada beberapa macam, yaitu rata-rata hitung (aritmatik), rata-rata geometrik, rata-rata harmonik dan lain-lain. Tetapi jika hanya disebut dengan kata "rata-rata" saja, maka rata-rata yang dimaksud adalah rata-rata hitung (aritmatik).

Penghitungan

Penghitungan rata-rata dilakukan dengan menjumlahkan seluruh nilai data suatu kelompok sampel, kemudian dibagi dengan jumlah sampel tersebut. Jadi jika suatu kelompok sampel acak dengan jumlah sampel \(n\), maka bisa dihitung rata-rata dari sampel tersebut dengan rumus sebagai berikut. \[ \bar{x}=\frac{1}{n} \left ( x_1+x_2+ \cdots +x_n \right ) \] Jika dinotasikan dengan notasi sigma, maka rumus di atas menjadi: \[ \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \] Keterangan:
\(\bar{x}\) = rata-rata hitung
\(x_i\) = nilai sampel ke-\(i\)
\(n\) = jumlah sampel

Contoh Penghitungan

Misalkan kita ingin mengetahui rata-rata tinggi badan siswa di suatu kelas. Kita bisa mengambil sampel misalnya sebanyak 10 siswa dan kemudian diukur tinggi badannya. Dari hasil pengukuran diperoleh data tinggi badan kesepuluh siswa tersebut dalam ukuran sentimeter (cm) sebagai berikut. \[ 172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170 \] Dari data di atas dapat dihitung rata-rata dengan menggunakan rumus rata-rata: \[ \begin{align*} \bar{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \\ &= \frac{1}{10}\left (172+167+180+170+169+160+175+165+173+170\right ) \\ &= \frac{1}{10}(1701) \\ &= 170\text{,}1 \end{align*} \] Dari hasil penghitungan, bisa diambil kesimpulan bahwa rata-rata tinggi badan siswa di kelas tersebut adalah \(170\text{,}1\) cm. Hasil tersebut bisa dibuktikan dengan menggunakan Microsoft Excel di halaman Menghitung Rata Dengan Microsoft Excel.

Contoh Soal No. 1

Hitunglah rata-rata dari data \(6, 6, 4, 6, 2, 5, 5, 6, 7, 6, 8\)!

Jawab:

Dari data tersebut dapat kita ketahui bahwa jumlah data adalah 11 \((n = 11)\). Dengan menggunakan rumus kita dapat menghitung rata-ratanya. \[ \begin{align*} \bar{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \\ &= \frac{1}{11}\left (6+6+4+6+2+5+5+6+7+6+8\right ) \\ &= \frac{1}{11}(61) \\ &\approx 5\text{,}55 \end{align*} \] Rata-rata dari data tersebut adalah \(5\text{,}55\).

Contoh Soal No. 2

Diberikan data sebagai berikut: \(4, 3, 5, 4, 6, 3, 6, 7, 8, 7, 8, 8\). Hitunglah rata-ratanya!

Jawab:

Banyaknya data di atas adalah 12 \((n = 12)\). Rata-rata dari data di atas adalah
\[ \begin{align*} \bar{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \\ &= \frac{1}{12}\left (4+3+5+4+6+3+6+7+8+7+8+8\right ) \\ &= \frac{1}{12}(69) \\ &= 5\text{,}75 \end{align*} \] Rata-rata dari data tersebut adalah \(5\text{,}75\).

Contoh Soal No. 3

Rata-rata nilai ujian matakuliah statistika 29 orang mahasiswa adalah 70. Ketika nilai ujian matakuliah statistika milik Andi digabungkan dengan nilai-nilai mahasiswa tersebut, rata-rata nilai naik menjadi 71. Berapakah nilai Andi tersebut?

Jawab:

Soal tersebut dapat diselesaikan dengan menambahkan total keseluruhan nilai mahasiswa dengan nilai Andi kemudian dibagi dengan jumlah mahasiswa yang nilainya dijumlahkan (termasuk Andi).

Dari soal diketahui jumlah mahasiswa sebelum nilai Andi dimasukkan adalah 29 \((n = 29)\) dan rata-ratanya adalah 70 \((\bar{x} = 70)\). Total keseluruhan nilai mahasiswa sebelum nilai Andi dimasukkan adalah \[ \begin{align*} \bar{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \\ 70 &= \frac{1}{29}\left (x_1+x_2+ \cdots +x_{29}\right ) \\ 70 \times 29 &= \left (x_1+x_2+ \cdots +x_{29}\right ) \\ \left (x_1+x_2+ \cdots +x_{29}\right ) &= 2030 \end{align*} \] Dengan masuknya nilai Andi, jumlah mahasiswa bertambah menjadi 30 \((n = 30)\) dan rata-rata nilainya naik menjadi 71 \((\bar{x} = 71)\). Selanjutnya nilai Andi dapat diketahui dengan memasukkan komponen yang baru tersebut pada rumus rata-rata. \[ \begin{align*} \bar{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \\ 71 &= \frac{1}{30}\left (x_1+x_2+ \cdots +x_{29}+x_{30}\right ) \\ 71 \times 30 &= \left (x_1+x_2+ \cdots +x_{29}+x_{30}\right ) \\ 2130 &= \left (2030+x_{30}\right ) \\ x_{30} &= 2130-2030 \\ &= 100 \end{align*} \] Dengan demikian, nilai rata-rata Andi adalah \(100\).

Contoh Soal No. 4

Berikut ini adalah data nilai mahasiswa untuk mata kuliah statistika, nilai mahasiswa diurutkan dari yang terendah ke yang tertinggi: \[4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 9\] Menurut pertimbangan dosen, mahasiswa harus mengulang ujian kembali untuk memperbaiki nilai apabila nilai yang mereka dapatkan berada di bawah rata-rata. Berapa orangkah yang harus memperbaiki nilainya tersebut?

Jawab:

Sebelum menghitung jumlah mahasiswa yang harus memperbaiki nilainya, kita harus menghitung dulu rata-rata nilai tersebut. Diketahui banyaknya data adalah 20 \((n = 20)\), sehingga nilai rata-ratanya dapat dihitung sebagai berikut. \[ \begin{align*} \bar{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \\ &= \frac{1}{20}\left (4+4+ \cdots +9\right ) \\ &= \frac{1}{20} (120) \\ &= 6 \end{align*} \] Rata-rata nilai mahasiswa adalah 6, dengan demikian mahasiswa yang harus mengulang ujian adalah mahasiswa yang nilainya berada di bawah 6. Jumlah mahasiswa yang nilainya di bawah 6 adalah 8 orang.

Contoh Soal No. 5

Sebuah keluarga memiliki 8 orang anak, yaitu A, B, C, D, E, F, G, H. Umur A adalah \(2x+1\) tahun, umur B adalah \(x+1\) tahun, umur C, D, E, F, G dan H berturut-turut adalah \(x+2\), \(x+3\), \(x+4\), \(x+5\), \(x+6\) dan \(x+7\) tahun. Jika rata-rata umur semua anak tersebut adalah \(7\). Berapakah umur A?

Jawab:

Umur A adalah \(2x+1\), dimana untuk menghitungnya, nilai \(x\) harus kita ketahui terlebih dahulu. Dari soal diketahui rata-rata umur adalah 7 dan banyaknya data adalah 8 \((n=8)\). Jika komponen-komponen yang diketahui dalam soal di atas dimasukkan ke dalam rumus rata-rata, maka \[ \begin{align*} \bar{x} &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \\ 7 &= \frac{1}{8}\left ((2x+1)+(x+1)+(x+2)+ \cdots +(x+7)\right ) \\ 9x+29 &= 7 \times 8 \\ 9x &= 56-29 \\ x &= \frac{27}{9} \\ &= 3 \end{align*} \] Nilai \(x\) adalah 3, dengan demikian umur A adalah \(2(3)+1=7\) tahun.

Perubahan Jumlah Penduduk

Perubahan jumlah penduduk di suatu wilayah disebabkan oleh 3 komponen, yaitu fertilitas (kelahiran), mortalitas (kematian) dan migrasi (perpindahan penduduk).

Pt = Po + (B – D) + (I – E)

Keterangan:
Pt = penduduk pada tahun t (penduduk yang akan dihitung jumlahnya)
Pt = jumlah penduduk pada tahun dasar
B = jumlah kelahiran
D = jumlah kematian
I = jumlah migrasi masuk
E = jumlah migrasi keluar

Varian (Ragam) dan Standar Deviasi (Simpangan Baku)

Varian dan standar deviasi (simpangan baku) adalah ukuran-ukuran keragaman (variasi) data statistik yang paling sering digunakan. Standar deviasi (simpangan baku) merupakan akar kuadrat dari varian. \[s=\sqrt{s^2}\] Oleh karena itu, jika salah satu nilai dari kedua ukuran tersebut diketahui maka akan diketahui juga nilai ukuran yang lain.

Penghitungan

Dasar penghitungan varian dan standar deviasi adalah keinginan untuk mengetahui keragaman suatu kelompok data. Salah satu cara untuk mengetahui keragaman dari suatu kelompok data adalah dengan mengurangi setiap nilai data dengan rata-rata kelompok data tersebut, selanjutnya semua hasilnya dijumlahkan.

Namun cara seperti itu tidak bisa digunakan karena hasilnya akan selalu menjadi 0.

Oleh karena itu, solusi agar nilainya tidak menjadi 0 adalah dengan mengkuadratkan setiap pengurangan nilai data dan rata-rata kelompok data tersebut, selanjutnya dilakukan penjumlahan. Hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) tersebut akan selalu bernilai positif.

Nilai varian diperoleh dari pembagian hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) dengan ukuran data (n).

Namun begitu, dalam penerapannya, nilai varian tersebut bias untuk menduga varian populasi. Dengan menggunakan rumus tersebut, nilai varian populasi lebih besar dari varian sampel.

Oleh karena itu, agar tidak bias dalam menduga varian populasi, maka n sebagai pembagi penjumlahan kuadrat (sum of squares) diganti dengan n-1 (derajat bebas) agar nilai varian sampel mendekati varian populasi. Oleh karena itu rumus varian sampel menjadi: 

Nilai varian yang dihasilkan merupakan nilai yang berbentuk kuadrat. Misalkan satuan nilai rata-rata adalah gram, maka nilai varian adalah gram kuadrat. Untuk menyeragamkan nilai satuannya maka varian diakarkuadratkan sehingga hasilnya adalah standar deviasi (simpangan baku).

Untuk mempermudah penghitungan, rumus varian dan standar deviasi (simpangan baku) tersebut bisa diturunkan :

Rumus varian :

Rumus standar deviasi (simpangan baku) :

Keterangan:

s² = varian

s = standar deviasi (simpangan baku)

xi = nilai x ke-i

 = rata-rata

n = ukuran sampel

Contoh Penghitungan

Misalkan dalam suatu kelas, tinggi badan beberapa orang siswa yang dijadikan sampel adalah sebagai berikut. 

172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170

Dari data tersebut diketahui bahwa jumlah data (n) = 10, dan (n - 1) = 9. Selanjutnya dapat dihitung komponen untuk rumus varian.

Dari tabel tersebut dapat ketahui:

 

Dengan demikian, jika dimasukkan ke dalam rumus varian, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

Dari penghitungan, diperoleh nilai varian sama dengan 30,32.

Dari nilai tersebut bisa langsung diperoleh nilai standar deviasi (simpangan baku) dengan cara mengakarkuadratkan nilai varian.

Hasil tersebut bisa dibuktikan dengan menggunakan Microsoft Excel.

Rasio Beban Tanggungan (Dependency Ratio)

Rasio beban tanggungan atau disebut juga rasio tanggungan keluarga adalah perbandingan antara jumlah penduduk usia tidak produktif (penduduk usia muda dan penduduk usia lanjut) dengan jumlah penduduk usia produktif.

P0-14 = Penduduk usia muda (0-14 tahun)
P65+ = Penduduk usia lanjut (65 tahun ke atas)
P15-64 = Penduduk usia produktif (15-64 tahun)

Hampiran Normal Terhadap Binomial

Peluang distribusi binomial b(x;n,p) bisa dihitung jika n kecil. Namun bila n besar atau mendekati tidak terhingga (∞), maka peluang distribusi binomial bisa dihampiri dengan distribusi normal.

Jika X adalah peubah acak binomial dengan rataan µ = np dan variansi σ² = npq maka hampiran normal terhadap binomial adalah sebagai berikut.

Jika n mendekati tak berhingga (∞), maka terbentuk distribusi normal baku n(z;0,1).

Rasio Jenis Kelamin (Sex Ratio)

Rasio Jenis Kelamin (Sex Ratio) adalah perbandingan antara jumlah penduduk laki-laki dan jumlah penduduk perempuan di suatu daerah atau negara pada suatu waktu tertentu.

Keterangan:
SR = Sex Ratio (Rasio Jenis Kelamin)
Pl = Jumlah Penduduk Laki-laki
Pp = Jumlah Penduduk Perempuan

Jika diperoleh rasio jenis kelamin sama dengan 102, maka bisa dikatakan bahwa dalam 100 penduduk perempuan terdapat 102 penduduk laki-laki.

Distribusi Normal Baku (Normal Standar)

Distribusi normal baku (standar) adalah distribusi peubah acak dengan rata-rata $\mu = 0$ dan varian $\sigma^2 = 1$. Peubah acak (variabel random) distribusi normal baku dinotasikan dengan $Z$ yang merupakan hasil transformasi dari peubah acak X yang berdistribusi normal (Baca kembali artikel Distribusi Normal). Bentuk transformasi peubah acak tersebut adalah sebagai berikut. \[Z = \frac {X-\mu}{\sigma}\] sehingga fungsi distribusi normal \[f(x;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt {2 \pi \sigma^2}} \exp \left (-\frac {1}{2\sigma^2} {(x-\mu)}^2 \right )\] akan berubah menjadi \[f(z;0,1) = \frac{1}{\sqrt {2 \pi}} \exp \left (-\frac {1}{2} z^2 \right )\] Perbandingan distribusi normal peubah acak $x$ dengan distribusi normal standar $z$ adalah \begin{align*} P(x_1 < X < x_2) &= \int_{x_1}^{x_2} \frac{1}{\sqrt {2 \pi \sigma^2}} \exp \left (-\frac {1}{2\sigma^2} {(x-\mu)}^2 \right) \, dx\\ &= \int_{z_1}^{z_2} \frac{1}{\sqrt {2 \pi}} \exp \left (-\frac {1}{2} z^2 \right ) \, dz \\ &= \int_{z_1}^{z_2} f(z,0,1) \, dz \\ &= P(z_1 < Z < z_2) \\ \end{align*} Nilai probabilitas dari $P(z<Z)$ telah dihitung dan ditabelkan dalam Tabel Z Distribusi Normal.

Luas Daerah di Bawah Kurva Normal

Luas di bawah kurva distribusi normal dapat dihitung dengan rumus peluang sebagai berikut.

Keterangan:
x = peubah acak kontinu
µ = rata-rata
σ = standar deviasi
π = 3,14258
e = 2.71828183

Penghitungan peluang di atas sangat menyulitkan. Oleh karena itu, distribusi normal dengan rata-rata µ dan varian σ² biasanya ditransformasi ke distribusi normal standar dengan rata-rata 0 dan varian 1. luas di bawah kurva berdistribusi normal standar sudah ditabelkan yang biasanya disebut dengan tabel normal.

Distribusi Normal

Distribusi normal disebut juga dengan Distribusi Gauss. Peubah acak (variabel random) pada distribusi normal merupakan peubah acak yang kontinu.

Fungsi kepadatan peluang distribusi normal adalah sebagai berikut \[f(x;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt {2 \pi \sigma^2}} \exp \left (-\frac {1}{2\sigma^2} {(x-\mu)}^2 \right )\] dimana $x$ adalah peubah acak kontinu dan $-\infty \leqslant x \leqslant \infty$. Distribusi normal memiliki dua parameter yaitu mean $\mu$ dan varian $\sigma^2$ dimana $-\infty \leqslant \mu \leqslant \infty$ dan $\sigma^2 > 0$. Dengan demikian fungsi $f(x;\mu,\sigma^2)$ dapat dibaca bahwa peubah acak $x$ mengikuti distribusi normal dengan rata-rata $\mu$ dan varian $\sigma^2$, dan dapat ditulis menjadi $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.

Mean dan Varian
$E(X) = \mu$
$Var(X) = \sigma^2$
Untuk pembuktiannya silakan baca artikel Nilai Harapan Distribusi Normal

Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
$M_x(t) = \exp \left (\mu t + \frac {1}{2} \sigma^2 t^2 \right )$
Silahkan buktikan fungsi pembangkit momennya di artikel MGF Distribusi Normal

Fungsi Karakteristik
$C_x(t) = \exp \left (i\mu t + \frac {1}{2} i^2 \sigma^2 t^2 \right )$

Fungsi Pembangkit Peluang
$G_x(t) = \exp \left (\mu \ln (t) + \frac {1}{2} \sigma^2 \ln^2 (t^2) \right )$

Kurva distribusi normal berbentuk lonceng (genta). Jika anda ingin membuat kurva distribusi normal tersebut, silahkan baca artikel Kurva Distribusi Normal dengan Software Minitab. Luas wilayah di bawah kurva normal adalah 1 (baca: Luas di Bawah Kurva Normal). Namun demikian, proses penghitungan luas kurva antara $x_1$ dan $x_2$ sangat sulit dilakukan karena integralnya tidak dalam bentuk sederhana.

Untuk menyederhanakan penghitungan, maka peubah acak distribusi normal ditransformasi sehingga fungsi distribusinya juga ikut berubah yaitu menjadi fungsi distribusi normal standar (distribusi normal baku). Silahkan baca proses transformasinya di Distribusi Normal Standar (Normal Baku).

Luas kurva Distribusi Normal Standar sudah ditabelkan, sehingga penghitungannya menjadi lebih mudah. Silahkan lihat tabelnya di Tabel Z Distribusi Normal. Cara menghitungnya dengan tabel tersebut dapat dibaca di artikel Menghitung Luas Area dengan Menggunakan Tabel Z Distribusi Normal Baku.

Jika kita memerlukan data yang berdistribusi normal untuk simulasi, kita bisa mebangkitkan datanya dengan menggunakan software, misalnya software Minitab.

Distribusi Poisson

Jika n pada distribusi binomial mendekati tak hingga (∞) maka distribusi binomial tersebut akan menjadi distribusi poisson.

Fungsi Padat Peluang

λ = rata-rata kejadian sukses setelah sekian kali percobaan

Rata-rata
E(X) = λ

Varian
Var(X) = λ

Fungsi Pembangkit Momen (MGF)

Fungsi Karakteristik

Fungsi Pembangkit Peluang
Gx(t) = e^{λ(t – 1)}

Distribusi Geometrik

Distribusi geometrik diaplikasikan dalam percobaan bernoulli diulang beberapa kali sampai mendapatkan sukses yang pertama.

Fungsi Padat Peluang

x = jumlah pengulangan sebelum mendapatkan sukses yang pertama.

Mean atau (µ)

E(X) = 1 / p

Varian

Var(X) = (1 – p) / p²

Fungsi Pembangkit Momen (MGF)

Mx(t) = pe^t / (1 – e^t + pe^t)

Baca juga:
Nilai Harapan Distribusi Geometrik

Distribusi Hipergeometrik

Distribusi peluang peubah acak hipergeometrik adalah banyaknya sukses (x) dalam sampel acak ukuran n yang diambil dari populasi sebanyak N yang mengandung jumlah sukses sebanyak k.

Fungsi Padat Peluang

x = jumlah terambil dari kelompok sukses

N = jumlah sampel populasi

n = jumlah sampel

k = jumlah sukses

Mean (µ)

E(X) = nk / N

Modus

Varian

Distribusi Binomial

Distribusi binomial muncul ketika percobaan bernoulli diulang sebanyak \(n\) kali. Setiap pengulangan, peluang sukses selalu sama yaitu \(p,\) begitu juga dengan peluang gagal yaitu \(1-p.\) Setiap pengulangan bebas terhadap pengulangan berikutnya.

Fungsi Padat Peluang

Distribusi binomial merupakan distribusi peluang diskret dengan fungsi peluangnya adalah \[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\binom{n}{x}p^x\left( 1-p \right)^{n-x}&\;\;\; x=1,2,...,n\\ \\ 0&\;\;\;\text{lainnya} \end{cases} \] dimana \(p\) adalah peluang sukses, \(n\) adalah banyaknya pengulangan dan \(x\) adalah banyaknya sukses dalam \(n\) kali pengulangan. Selain itu notasi \(\displaystyle\binom{n}{x}\) merupakan koefisien binomial, dimana \[ \binom{n}{x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}. \]

Fungsi Distribusi Kumulatif

Fungsi distribusi kumulatif distribusi binomial adalah \[ F(x) = \sum_{k=0}^{x} \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \qquad x=1,2,...,n \]

Mean

Rata-rata (Mean) distribusi binomial adalah \[ E(X)=np. \] Bukti: \[ \begin{aligned} E(X) &= \sum_{x=0}^n xf(x)\\ &=\sum_{x=0}^n x\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x}\\ &=\sum_{x=0}^n x\frac{n(n-1)!}{x(x-1)!(n-x)!}pp^{x-1}(1-p)^{n-x}\\ &=np \sum_{x=0}^n \frac{(n-1)!}{(x-1)!(n-x)!}p^{x-1}(1-p)^{n-x}\\ &=n\end{aligned} \]

Varian

Varian distribusi binomial adalah \[ Var(X) = np(1-p). \] Bukti:\[ \begin{aligned} Var(X)&=E\left(\left[X-E(X)\right ]^2\right )\\ &= E(X^2)-\left [E(X) \right ]^2 \end{aligned} \] Untuk menyelesaikannya, tentukan bagian yang belum diketahui terlebih dahulu, yaitu \( E(X^2).\) \[ \begin{aligned} E(X^2)&= E(X^2)-E(X)+E(X)\\ &=E(X^2-X)+E(X)\\ &=E\left(X(X-1)\right)+E(X) \end{aligned} \] Selesaikan \(E\left(X(X-1) \right ).\) \[ \begin{aligned} E(X(X-1))&= \sum_{x=0}^n x(x-1)f(x) \\ &= \sum_{x=0}^n x(x-1)\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x} \\ &= \sum_{x=0}^n x(x-1)\frac{n(n-1)(n-2)!}{x(x-1)(x-2)!(n-x)!}p^2p^{x-2}(1-p)^{n-x} \\ &= n(n-1)p^2 \sum_{x=0}^n \frac{(n-2)!}{(x-2)!(n-x)!}p^{x-2}(1-p)^{n-x} \\ &= n^2p^2-np^2 \end{aligned} \] Selanjutnya, \[ \begin{aligned} E(X^2) &= n^2p^2-np^2+np\\ &= n^2p^2+np(1-p) \end{aligned} \] Dengan demikian, \[ \begin{aligned} Var(X) &= n^2p^2+np(1-p) (np)^2\\ &= np(1-p) \end{aligned} \]

Fungsi Pembangkit Momen (MGF)

Fungsi pembangkit momen distribusi bernoulli adalah \[ M_x(t)=\left(1-p+pe^t\right)^n. \] Bukti: \[ \begin{aligned} M_x(t) &= E(e^{tx}) \\ &=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}f(x) \\ &=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}\binom{n}{x}p^x \left( 1-p \right)^{n-x} \\ &=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x \left( 1-p \right)^{n-x} \\ &=\sum_{x=0}^{n}\frac{n!}{x!(n-x)!}{(pe^t)}^x \left( 1-p \right)^{n-x} \end{aligned} \] Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema binomial newton, sehingga \[ \begin{aligned} M_x(t)&={(pe^t+1-p)}^{x+n-x}\\ &={(1-p+pe^t)}^n \end{aligned} \] Selanjutnya dapat diperoleh juga \[ \begin{aligned} M'_x &= npe^t \left ( 1-p+pe^t \right )^{n-1} \\ M''_x &= n(n-1){(pe^t)}^2{(1-p+pe^t)}^{n-2}\\ &\;\;\;\;+ npe^t \left ( 1-p+pe^t \right )^{n-1} \end{aligned} \] Momen-momen mentahnya (raw moments) adalah \[ \begin{aligned} \mu'_1 &= np \\ \mu'_2 &= np(1-p+np)\\ \mu'_3 &= np(1-3p+3np+2p^2-3np^2+n^2p^2)\\ \mu'_4 &= np(1-7p+7np+12p^2-18np^2+6n^2p^2\\ &\;\;\;\;-6p^3+11np^3-6n^2p^3+n^3p^3 \end{aligned} \] dan momen-momen pusat central moments\[ \begin{aligned} \mu_1 &= np \\ \mu_2 &= np(1-p)\\ \mu_3 &= np(1-p)(1-2p)\\ \mu_4 &= np(1-p)\left [ 3p^2(2-n)+3p(n-2)+1 \right ] \end{aligned} \]

Kemencengan (Skewness)

Kemencengan (Skewness) dari distribusi binomial adalah \[ \displaystyle\gamma_1 = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}. \] Bukti: \[ \begin{aligned} \gamma_1&= E\left(\left[\frac{X-E(X)}{\sqrt{Var(X)}}\right]^3\right)\\ &=\frac{\mu_3}{\sqrt{\mu_2^3}}\\ &=\frac{(1-2p)}{\sqrt{np(1-p)}} \end{aligned} \]

Keruncingan (kurtosis)

Keruncingan (kurtosis) dari distribusi binomial adalah \[ \displaystyle\gamma_2 = \frac{6p^2-6p+1}{np(1-p)} \] Bukti: \[ \begin{aligned} \gamma_2 &= E\left(\left[\frac{X-E(X)}{\sqrt{Var(X)}}\right ]^4\right )\\ &= \frac{\mu_4}{\sqrt{\mu_2^4}}\\ &= \frac{3p^2(2-n)+3p(n-2)+1}{\sqrt {np(1-p)}}+3\\ &= \frac{6np^2-6p+1}{np(1-p)} \end{aligned} \]

Fungsi Karakteristik

\[ \varphi_x(t)=\left(1-p+pe^{it}\right)^n \]

Fungsi Pembangkit Peluang

\[ G_x(t)=\left(1-p+p^t \right)^n \]

Hubungan dengan Fungsi Beta

Peluang yang mengandung banyak sukses dari \(n\) observasi dari distribusi binomial adalah \[ \begin{aligned} P&=\sum_{k=x+1}^{n}\binom{n}{k}p^k{(1-p)}^{n-k}\\ &=I_p(x+1,n-x) \end{aligned} \] dimana \[ I_x(a,b)\equiv\frac{B(x;a,b)}{B(a,b)}. \] \(B(a,b)\) adalah fungsi beta (beta function) dan \(B(x;a,b)\) adalah fungsi beta tak lengkap (incomplete beta function).

Soal dan Pembahasan

Contoh Soal #1

Dalam suatu pertandingan, peluang Ronaldo dapat mencetak gol adalah 5/6, jika ronaldo diberi kesempatan menendang sebanyak 5 kali. Tentukan besar peluang Ronaldo mencetak 4 kali gol!

Jawab

Diketahui \(p=\frac{5}{6}\) dan \(n=5\) maka \(P(X=4\) adalah \[ \begin{aligned} P(X=x)&=\binom{n}{x}p^x \left(1-p\right)^{n-x}\\ P(X=4)&=\binom{5}{4}\left(\frac{5}{6}\right)^4 \left(1-\frac{5}{6}\right)^{5-4}\\ &=0\text{,}40 \end{aligned} \] Contoh Soal #2

Misalkan sebuah mata uang memiliki dua sisi yaitu Muka (M) dan Belakang (B) yang akan diundi sebanyak 6 kali. Berapakah peluang pada undian akan muncul:
a. Ada dua sisi M
b. Ada lebih dari dua sisi M

Jawab

a. Ada dua sisi M

Diketahui peluang muncul M untuk satu kali pelemparan adalah 1/2 \((p=12)\) dan banyaknya pelemparan adalah 6 kali \((n=6).\) Peluang muncul dua sisi M adalah \[ \begin{aligned} P(X=2)&=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}\\ &=\binom{6}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(1-\frac{1}{2}\right)^{6-2}\\ &=\frac{6!}{2!(6-2)!}\frac{1}{2^2}\frac{1}{2^4}\\ &=\frac{15}{64} \end{aligned} \] b. Ada lebih dari dua sisi M

Peluang muncul besar dari dua sisi M adalah \[ \begin{aligned} P(X>2)&=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)\\ &=\frac{20}{64}+\frac{15}{64}+\frac{6}{64}+\frac{1}{64}\\ &=\frac{21}{32} \end{aligned} \]

Faktorial, Permutasi dan Kombinasi

Faktorial

Faktorial bilangan asli n adalah perkalian semua bilangan asli yang kurang atau sama dengan n. Faktorial dilambangkan dengan tanda !. Jadi jika n!, maka dibaca "n faktorial".

n! = 1 x 2 x … x (n-2) x( n-1) x n

Untuk faktorial 0, hasilnya adalah 1.

0! = 1

Berikut ini adalah faktorial 0 sampai faktorial 10.

0! = 1

1! = 1

2! = 1 × 2 = 2

3! = 1 × 2 × 3 = 6

4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720

7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040

8! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 40320

9! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 = 362880

10! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 = 3628800

Faktorial biasa digunakan untuk menghitung banyaknya susunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan benda tanpa memperhatikan urutannya.

Contoh Soal No. 1

Empat buah lukisan A, B, C dan D akan dipajang berurutan pada sebuah dinding pameran. Berapakah jumlah susunan yang dapat dibentuk dari keempat lukisan tersebut?

Jawab:

Karena jumlah lukisan yang akan dibentuk susunannya adalah 4 maka jumlah susunan yang bisa dibentuk adalah 4!.

4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Jadi jumlah susunan yang dapat dibentuk adalah 24 susunan. Ke-24 susunan tersebut adalah sebagai berikut.

ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA.

Contoh Soal No. 2

Carilah nilai x pada persamaan di bawah ini.

Jawab:

Berikut adalah cara penyelesaiannya.

Dengan demikian, terdapat dua nilai x yang bisa diperoleh dari penyelesaian persamaan di atas, yaitu x = 3 dan x = 2. Namun demikian nilai x tidak mungkin bernilai negatif pada faktorial, oleh karena itu nilai x yang mungkin adalah 3.

Contoh Soal No. 3

Hitunglah:

Jawab:

Permutasi

Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan objek yang diambil sebagian atau seluruhnya. Perbedaan antara permutasi dan kombinasi adalah perhatian pada pengurutannya, dimana pada permutasi memperhatikan urutan, sedangkan pada kombinasi tidak memperhatikan urutan. XY dan YX pada permutasi di hitung 2, sedangkan pada kombinasi hanya dihitung 1.

Notasi dari permutasi adalah $P$. Bila $n$ permutasi $k$, notasinya adalah $^nP_k$. Dimana \[^nP_k = \frac {n!}{(n-k)!}\] Notasi ! adalah faktorial. Silahkan baca kembali artikel Faktorial.

Contoh Soal No. 1

Lima orang pemain catur akan memperebutkan juara satu, dua dan tiga pada sebuah turnamen catur. Berapakah banyaknya susunan juara satu, dua dan tiga yang dapat dibentuk dari kelima pemain tersebut?

Jawab:

Dari soal di atas, kita akan membuat susunan urutan 3 juara dari 5 pemain catur, sehingga $k = 3$ dan $n = 5$. Dengan menggunakan rumus permutasi, banyaknya susunan juara yang dapat dibentuk adalah \[{^nP_k} = {^5P_3} = \frac {5!}{(5-3)!} = \frac {5!}{2!} = 60\]
Contoh Soal No. 2

Sebuah organisasi mahasiswa memiliki 7 orang yang kompeten untuk mengisi posisi ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara. Berapakah banyaknya cara untuk memilih susunan posisi tersebut?

Jawab:

Tujuh orang yang kompeten akan menenpati 4 posisi, sehingga banyaknya susunan yang akan dibentuk adalah 7 kombinasi 4, yaitu \[{^7P_4} = \frac {7!}{(7-4)!} = \frac {7!}{3!} = 35\]

Kombinasi

Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu kumpulan tanpa memperhatikan urutannya.

Karena tidak memperhatikan urutan maka disinilah letak perbedaan antara kombinasi dan permutasi.

Pada kombinasi, susunan $XY$ sama saja dengan susunan $YX$, sedangkan pada permutasi susunan $XY$ dan $YX$ dianggap susunan yang berbeda.

Lambang notasi dari kombinasi adalah $C$. Jika disebutkan $n$ kombinasi $r$, maka dapat ditulis menjadi $^nC_k$. Rumus kombinasi adalah sebagai berikut. \[^nC_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\] Notasi ! adalah faktorial, silahkan baca kembali artikel tentang Faktorial.

Untuk pemahaman lebih lanjut, berikut ini diberikan sebuah contoh soal tentang kombinasi.

Sebuah perusahaan yang bergerak di bidang konstruksi memiliki 4 orang ahli statistik. Salah satu kegiatan dari perusahaan tersebut adalah melakukan survei kualitas bangunan yang pernah dikerjakannya. Jumlah ahli statistik yang dibutuhkan untuk kegiatan survei adalah 2 orang. Berapa cara menentukan 2 dari empat 4 orang ahli statistik yang dibutuhkan?

Jawab:

Banyaknya cara memilih 2 orang dari 4 orang dapat dihitung menggunakan rumus kombinasi. Pada soal di atas dapat kita ketahui $k=2$ dan $n=4$. \[\begin{align*} ^nC_k&=^4C_2 \\ &=\frac{4!}{2!(4-2)!} \\ &=6 \end{align*}\] Sehingga banyaknya pemilihan yang bisa dilakukan adalah 6 cara.

Contoh Soal No. 1

Di sebuah sanggar tari terdapat 15 orang penari, yaitu 9 penari laki-laki dan 6 penari perempuan. Sanggar tari tersebut membuat sebuah tari kreasi baru yang membutuhkan 5 penari laki-laki dan 3 penari perempuan. Berapakah banyaknya cara yang dapat diambil untuk menentukan komposisi penari yang ikut tari kreasi tersebut?

Jawab:

Dari soal tersebut dapat kita ketahui bahwa $n=15$, $n_1=9$, $n_2=6$, $k_1=5$, $k_2=3$. Dengan menggunakan rumus kombinasi, maka kita dapat menyelesaikan permasalahan tersebut. \[\begin{align*} {^{n_1}C_{k_1}} \times {^{n_2}C_{k_2}} &= \frac{n_1!}{k_1!(n_1-k_1)!} \times \frac{n_2!}{k_2!(n_2-k_2)!} \\ &= \frac{9!}{5!(9-5)!} \times \frac{6!}{3!(6-3)!} \\ &= \frac{9!}{5!4!} \times \frac{6!}{3!3!} \\ &= \frac{6 \times 7 \times 8 \times 9}{1 \times 2 \times 3 \times 4} \times \frac{4 \times 5 \times 6}{1 \times 2 \times 3} \\ &= 126 \times 20\\ &= 2520 \end{align*}\] Cara yang dapat diambil untuk menentukan komposisi penari yang ikut tari kreasi 2520 cara.

Contoh Soal No. 2

Sebuah kotak berisi 3 bola putih, 4 bola merah, dan 5 bola biru. Tiga bola diambil secara acak dari dalam kotak tersebut. Hitunglah peluang bahwa

1. Terpilih paling banyak satu bola berwarna putih,
2. Masing-masing warna terwakili (1 bola putih, 1 bola merah, dan 1 bola biru),
3. Jika bola diambil satu per satu tanpa pengembalian, tentukan peluang dimana bola terambil pertama adalah putih, kedua adalah merah, dan ketiga adalah biru!

Jawab:

Diketahui $n=12$, $n_1=3$, $n_2=4$ dan $n_3=5$. Misalkan jumlah bola putih terpilih dinotasikan dengan $x$, jumlah bola merah terpilih dinotasikan dengan $y$ dan jumlah bola biru terpilih dinotasikan dengan $z$.

Jawaban 2.1
Terpilih paling banyak satu bola berwarna putih artinya bola putih bisa terpilih 1 atau tidak terpilih sama sekali (0). Dengan demikian peluangnya adalah \begin{align*} P(x\leq 1) &= P(x=0)+P(x=1) \\ &= \frac{ \left({^{n_1}C_0}\right) \left({^{n_2+n_3}C_3}\right)}{\left({^{n}C_3}\right)} + \frac {\left({^{n_1}C_1}\right) \left({^{n_2+n_3}C_2}\right)}{\left({^{n}C_3}\right)} \\ &= \frac{\left(^3C_0\right) \left(^9C_3\right)}{\left(^{12}C_3\right)} + \frac{\left(^3C_1\right) \left(^9C_2\right)}{\left(^{12}C_3\right)} \\ &= \frac{84}{220}+ \frac{108}{220} \\ &= 0,8727 \end{align*} Jawaban 2.2
Jika masing-masing warna terwakili, maka peluangnya adalah \begin{align*} P(x=1,y=1,z=1) &= \frac{{^{n_1}C_1} {^{n_2}C_1} {^{n_3}C_1}}{^nC_3} \\ &= \frac{{^3C_1} {^4C_1} {^5C_1}}{^{12}C_3} \\ &= \frac{3 \times 4 \times 5}{220} \\ &= 0,2727 \end{align*} Jawaban 2.3
Jumlah bola sebelum pengambilan adalah 12. Pada pengambilan pertama, peluang terambilnya bola putih adalah \[P(x) = \frac{n_1}{n} = \frac {3}{12}\] Bola yang tersisa dari hasil pengambilan pertama adalah 11, yaitu 2 bola putih, 4 bola merah dan 5 bola biru. Peluang terpilih bola merah pada pengambilan kedua adalah \[P(y|x) = \frac{n_2}{n-1} = \frac {4}{11}\] Selanjutnya bola yang tersisa adalah 10, yaitu 2 bola putih, 3 bola merah dan 5 bola biru. Peluang terpilih bola biru pada pengambilan ketiga adalah \[P(z|y|x) = \frac{n_3}{n-2} = \frac {5}{10}\] Dengan demikian peluang terambil bola pertama adalah putih, kedua adalah merah, dan yang ketiga adalah biru adalah \begin{align*} P(x=1,y=1,z=1) &= P(x) + P(y|x) + P(z|y|x) \\ &= \frac {4}{12} + \frac{3}{11}+\frac{5}{10} \\ &= 0,0455 \end{align*}
Contoh Soal No. 3

Huruf A, I, U , E dan O akan disusun menjadi kelompok yang terdiri dari 3 huruf. Berapakah banyaknya kelompok yang mungkin terbentuk?

Jawab:

Dari 5 huruf, akan disusun kelompok yang terdiri dari 3 huruf. Banyaknya kelompok susunan yang mungkin terbentuk adalah 5 kombinasi 3. \[^5C_3 = \frac {5!}{{3!}{(5-3)!}} = \frac {5!}{2!} = 10\]
Contoh Soal No. 4

Sebanyak 20 klub sepak bola akan bertanding pada sebuah turnamen. Setiap klub akan bertemu satu sama lain dalam bertanding sebanyak 1 kali. Berapakah banyak pertandingan yang akan terjadi?

Jawab:

Pada soal disebutkan bahwa masing-masing klub akan bertemu satu sama lain sebanyak satu kali. Pada sebuah pertandingan sepak bola hanya ada 2 klub yang bertanding, artinya ada sebanyak $^{20}C_2$ pertandingan yang akan terjadi.\[^{20}C_2 = \frac {20!}{{2!}{(20-2)!}} = \frac {19 \times 20}{2} = 190\]