Penyelesaian Soal Gaya Sentripetal

Soal 1Sebuah benda bermassa m diikatkan pada ujung seutas tali kemudian ujung tali lainnya diputar secara horizontal. Ketika tali diputar, maka benda juga ikut berputar mengikuti lintasan yang dibentuk putaran tali dengan kecepatan linear v dan kecepatan sudut ω seperti yang diilustrasikan pada gambar di bawah ini. 

Pada kasus ini, panjang tali L berfungsi sebagai jari-jari lintasan lingkaran dan menghasilkan tegangan tali sebesar T, jika kecepatan sudut dijaga tetap, maka tegangan tali pada saat panjang tali dijadikan ¾ dari panjang mula-mula adalah . . . . 
A.T/3         B. T/4           C. T/5           D. 3T/4           E. 5T/4

Jawab:
Gaya tegangan tali pada lintasan gerak melingkar di atas merupakan gaya sentripetal, maka
T = mv²/L = mω²L
Jika panjang tali L’ = ¾ L, dan ω’ = ω, maka tegangan tali akan menjadi,
T’ = mω(3/4 L) = 3T/4

Soal 2
Sebuah benda memiliki massa 100 g bergerak melingkar beraturan dengan kelajuan 3 m.s⁻¹. Jika jari-jari lintasan benda adalah 40 cm maka gaya sentripetal yang dialami benda tersebut sebesar....
A. 1,25 N     B. 2,25 N     C. 3,25 N      D. 4,25 N     E. 5,25 N

Jawab:
Massa benda, m = 100 gram = 0,1 kg, panjang tali jadi jari-jari R = 40 cm = 0,4 m dan kecepatan lienar v = 3 m/s². Maka gaya sentripetalnya adalah
F_sp = mv²/R
F_sp = (0,1 kg)(3 m/s²)²/(0,4 m) = 2,25 N

Soal 3
Sebuah bergerak dengan kelajuan konstan v melalui lintasan yang berbentuk lingkaran dengan percepatan sentripetal (a_s). Agar percepatan sentripetal menjadi 3 kali dari semula maka....
A. V dijadikan 3 kali dan R dijadikan 2 kali semula
B. V dijadikan 3 kali dan R dijadikan 4 kali semula
C. V dijadikan 2 kali dan R dijadikan 3 kali semula
D. V tetap dan R dijadikan 1/3 kali semula
E. V dijadikan 1/3 kali semula dan R tetap

Jawab:
Percepatan sentripetal a_s = ν² / R, agar percepatan sentripetal menjadi tiga kali semula, maka
Jika v dijadikan 3 kali dan R dijadikan 3 kali semula dan jila v tetap maka R dijadikan 1/3 kalinya.

Soal 4
Sebuah benda yang massanya 10 kg bergerak melingkar beraturan dengan kecepatan 4 m.s^-1. Jika jari-jari lingkaran 0,5 meter, maka :
(1) Frekuensi putarannya 4/π Hz
(2) Percepatan sentripetalnya 32 m.s^-2
(3) Gaya sentripetalnya 320 N
(4) Periodenya 4π s
Pernyataan yang benar adalah....
A. (1), (2), (3), dan (4)
B. (1), (2), dan (3)
C. (1), dan (3) saja
D. (2), dan (4) saja
E. (3), dan (4) saja

Jawab:
Massa benda, m = 10 kg, kecepatan benda, v = 4 m/s dan R = 0,5 m.
Dengan menggunakan hubungan v = ωr dan ω = 2πf, kita peroleh
f = v/(2πr) = (4 m/s)/(2π x 0,5 m) = 4/π Hz
Percepatan sentripetal benda adalah
a_s = v²/R = (4 m/s)²/(0,5 m) = 32 m/s²
gaya sentripetal diperoleh dari
F_s = ma_s = 10 kg x 32 m/s² = 320 N
Periodenya adalah
T = 1/f = π/4

Penyelesaian Soal Hubungan Roda-roda

Soal 1
Dua buah roda gigi terhubung seperti gambar berikut ini. Roda A memiliki 30 gigi dan roda B memiliki 20 gigi.

Jika roda B berputar dengan kecepatan sudut 120 rpm, maka kecepatan sudut roda A adalah.....
A. 80 rpm            B. 120 rpm          C. 180 rpm          D. 240 rpm          E. 480 rpm

Jawab:
jumlah gigi roda A/jumlah gigi roda B = n_A/n_B = 30/20 = 3/2
artinya ketika roda A berputar 2 kali roba B telah berputar sebanyak 3 kali. Roda yang lebih kecil pasti berputar lebih banyak (kecepatan sudut lebih besar), maka
ω_A = (2/3) ω_B = (2/3) 120 rpm =  80 rpm

Soal 2
Tiga buah roda gigi terhubung seperti gambar berikut ini. Roda A memiliki 20 gigi, roda B memiliki 30 gigi dan roda C memiliki 30 gigi.

Jika roda C berputar dengan kecepatan sudut 240 rpm, maka kecepatan sudut roda B adalah.....
A. 80 rpm            B. 120 rpm          C. 160 rpm          D. 240 rpm          E. 480 rpm

Jawab:
Perbandingan jumlah gigi ketiga roda adalah
n_A : n_B : n_C = 20 : 30 : 30 = 2 : 3 : 3
roda C dan A seporos maka ω_A = ω_C = 240 rpm
perbandingan jumlah gigi roda A dan B = 2/3, artinya ketika roda B perputar 2 kali  roda A telah berputar sebanyak 3 kali, maka
ω_B = (2/3)ω_A = (2/3) 240 rpm = 160 rpm

Soal 3
Tiga buah roda gigi terhubung seperti gambar berikut ini. Roda A memiliki 20 gigi, roda B memiliki 60 gigi dan roda C memiliki 10 gigi.

 

Jika roda A berputar dengan kecepatan sudut 60 rpm, maka kecepatan sudut roda C adalah.....
A. 80 rpm            B. 120 rpm          C. 160 rpm          D. 240 rpm          E. 480 rpm

Jawab:
Perbandingan jumlah gigi ketiga roda adalah
n_A : n_B : n_C = 20 : 60 : 10 = 2 : 6 : 1
perbandingan jumlah gigi roda A dan B = 2 : 6 = 1 : 3, artinya ketika roda B perputar 1 kali  roda A telah berputar sebanyak 3 kali, maka
ω_B = (1/3)ω_A = (1/3) 60 rpm = 20 rpm
perbandingan jumlah gigi roda B dan C = 6 : 1,  artinya ketika roda C perputar 1 kali  roda B telah berputar sebanyak 6 kali, maka
ω_C = (6/1)ω_B = (6/1) 20 rpm = 120 rpm

Soal 4
Roda A, B, dan C yang memiliki jari-jari R_A = 10 cm, R_B = 5 cm, R_C = 15 cm. 

Bila kecepatan sudut roda A adalah 2 rad.s⁻¹, maka kecepatan sudut roda C adalah….
A. 3/2 rad.s⁻¹         B. 2/3 rad.s⁻¹         C. 4/3 rad.s⁻¹      D. ¾ rad.s⁻¹              E. ½ rad.s⁻¹

Jawab:
ω_A = 2 rad/s, R_A = 10 cm, R_B = 5 cm, R_C = 15 cm.
Roda A dan Roda B dalam satu poros, sehingga kecepatan sudut (ω) nya sama.
ω_B = ω_A
ω_B = 2 rad/s.
Roda B dan Roda C dihubungkan dengan tali atau rantai, sehingga kecepatan (v) nya sama. v_c = v_B
V_C = v_B
ω_CR_C= ω_BR_B
(15 cm) ω_C = (2 rad/s)(5 cm)
ω_C = 2/3 rad/s

Soal dan pembahasan Dinamika gerak melingkar

Soal 1
Sebuah mobil menempuh belokan pada jalan datar yang memiliki jari-jari kelengkungan 25 m (lihat gambar). Kelajuan maksimum yang diperbolehkan untuk melewati tikungan tersebut adalah 36,0 km.jam^-1. Jika g = 10 m.s^-2, tentukan koefisien gesek yang jalan tersebut?

 

Jawab:
Agar mobil tidak slip keluar lintasan jalan gaya gesek statis maksimum lebih besar atau sama dengan gaya setripetal mobil yaitu

F_s (gaya sentripetal) = f_s,maks ≤ μ_smg
mv²_maks/r ≤ μ_smg
μ_s ≥ v²_maks/gr
μ_s ≥ (10 m/s)²/(10 m/s²)(25 m)
μ_s ≥ 0,4

Soal 2
Sebuah balok 1 kg bergerak melingkar pada dinding sebelah dalam sebuah tong yang berpusing dengan koefisien gesek statis 0,4. Jika jari-jari tong 1 m, tentukan kelajuan minimum balok bersama tong agar tong tidak terjatuh?

Jawab:
Diagram balok bebas yang menempel pada dinding sebelah dalam tong yang ikut bergerak melingkar bersama dinding tong ditunjukkan pada gambar.

Ada tiga buah gaya yang bekerja: gaya berat mg vertikal ke bawah, gaya gesek = μmg berarah vertikal ke atas untuk melawan kecendrungan balok untuk meluncur vertikal ke bawah dan gaya tekan dinding dalam tong pada balok N yang berarah mendatar ke kanan tegak lurus pada dinding tong.
Ambil arah mendatar ke kanan sebagai sumbu X positif dan arah vertikal ke atas sebagai Y positif (lihat gambar). Pertama, balok tidak bergerak terhadap sumbu Y, sehingga

∑F_y = 0 → f_s – mg = 0
μ_sN = mg →N  = mg/μ_s

kedua, balok bergerak melingkat berarti harus ada gaya pada balok yang mengarah ke pusat lingkaran, yang berfungsi sebagai gaya sentripetal. Pada diagram gaya yang tampak yang mengarah ke pusat lingkaran adalah gaya normal N. Gaya normal N ini berfungsi sebagai gaya sentripetal sehingga

F_s = mv²/r → N = mv²/r, maka
mg/μ_s = mv²/r
v = √[rg/μ_s]
v = √[(1,0 m)(10 m.s^-2)/(0,4)] = 5,0 m.s^-1

Soal dan Pembahasan hubungan Roda-roda

Soal 1
Tiga roda dihubungkan seperti gambar di samping. Jika R₁ = 4 cm, R₂ = 2 cm, dan R₃ = 8 cm, jika kecepatan sudut roda 1 adalah 4 rad/s, tentukan: (a) kecepatan linear roda 1, (b) kecepatan linear roda 2, (c) kecepatan sudut roda 3, (d) kecepatan sudut roda 3 dan (e) kecepatan linear roda 3!

Jawab:
Diketahui: Jari-jari roda, R₁ = 4 cm, R₂ = 2 cm, dan R₃ = 8 cm;
Kecepatan sudut ω₁ = 4 rad/s.
(a) Roda 1 dan roda 2 dihubungkan dengan sabuk, maka
 v₂ = v₁ = ω₁R₁ = (4 rad/s)(4 cm) = 16 cm/s = 0,16 m/s
_­(b) kecepatan sudut roda 2,
ω₁R₁ = ω₂R₂
(4 rad/s)(4 cm) = ω₂(2 cm)
ω₂ = 8 rad/s
(c) karena roda 2 dan roda 3 seporos maka
ω₃ = ω₂ =  8 rad/s
(d) kecepatan linear roda 3,
v₃ = ω₃R₃ = (8 rad/s)(8 cm) = 64 cm/s = 0,64 m/s

Soal 2
Sebuah mesin berputar pada 300 rpm dan menggerakan sebuah poros garis. Diameter katrol pada mesin adalah d₁ = 80 cm dan diameter katrol pada poros garis adalah r₂ = 20 cm. Katrol dengan diameter r₃ = 50 cm pada poros garis menggerakkan katrol berdiameter r₄ = 10 cm yang dihubungkan ke sebuah pusat dinamo. Tentukan kelajuan dan kecepatan sudut poros dinamo jika tidak slip.

Jawab:
Kecepatan sudut mesin ω₁ = 300 rpm = 300 (2π) rad/(60 s) = 10π rad/s,
Untuk mencari kelajuan dinamo (v₄), kita harus menghitung terlebih dahulu kelajuan v₂ dan v₃,
Karena poros 1 dan poros 2 dihubungkan dengan sabuk, maka
v₁ = v₂
ω₁r₁ = ω₂r₂
(10π rad/s)(80 cm/2) = ω₂(20 cm/2)
ω₂ = 40π rad/s
karena poros 2 dan poros 3 seporos, maka
ω₃ = ω₂ = 40π rad/s
dan v₃ = ω₃r₃ = (40π rad/s)(50 cm/2) = 1000π cm/s = 10π m/s
dan poros 3 dan poros 4 dihubungkan dengan sabuk, maka
v₄ = v₃ = 10π m/s
dan kecepatan sudut dinamo adalah ω₄ = v₄/r₄ = (1000π cm/s)/(10 cm/2) = 200π rad/s

Soal dan Penyelesaian Gerak Melingkar Beraturan

Soal 1
Sebuah benda pada berputar horizontal pada jalan melingkar dengan kecepatan 10 m/s  dan melakukan  120 putaran dalam satu menit. (a) Tentukan frekuensi dan periode objek, dan (b) Carilah perubahan vektor kecepatan saat berputar 60⁰, 90⁰ dan 180⁰!

Jawab:
(a) frekuensi dan periode
n = 120 putaran, t = 1 menit = 60 detik, maka
f = n/t = 120 putaran/60 detik = 2 put/detik
T = 1/f = ½ sekon

(b) perubahan vektor kecepatan

Jika benda bergerak dari titik A dan berotasi menempuh 60⁰ di titik B, maka

Δv = v_B – v_A
Δv = 2v.cos 120⁰/2 = 2.10.cos 60⁰= 20/2 = 10m/s
Jika benda berotasi sampai 90⁰;
Δv = v_C – v_A
Δv = (v_A² + v_C²)^1/2 = [(10)² + (10)²]^1/2 = 10√2 m/s
Jika benda berputar  180⁰;
Δv = v_D – v_A = –10 m/s – 10 m/s = –20 m/s

Soal 2
Sebuah piringan berputar 1800 putaran selama 6 menit. Jari-jari piringan 8 cm. Tentukan (a) frekuensi dan periode piringan, (b) kecepatan sudut piringan, (c) kecepatan linear suatu titik yang berada pada 3 cm dari tepi piringan dan (d) percepatan sentripetal piringan!

Jawab:
(a) Frekuensi dan periode piringan
f = n/t = 1800 putaran/(6 x 60 detik) = 5 Hz
T = 1/f = 0,2 sekon
(b) kecepatan sudut piringan
ω = 2πf = 2π x 5 Hz = 10π rad/s
(c) kecepatan linear titik yang berada pada 3 cm dari tepi piringan adalah
v = ωR = (10π rad/s)(5 cm) = 50π cm/s = 0,5π m/s
(d) percepatan sentripetal
a_s = v²/R = ω²R = (10π rad/s)²(8 cm) = 8000 cm/s² = 80 m/s²

Soal 3
Sebuah jam dinding pasti memiliki jarum detik, menit dan jarum jam. Tentukan perbandingan kecepatan sudut jarum detik, menit dan jam!

Jawab:
Dalam 1 putaran = 360⁰ = 2π radian, jarum detik membutuhkan waktu 1 menit = 60 detik, sedangkan jarum menit membutuhkan waktu 1 jam = 3600 detik dan jarum jam membutuhkan waktu 12 jam = 12 x 3600 detik, maka
ω_d (jarum detik) = 2π/(60 s) = π/30 rad/s
ω_m (jarum menit) = 2π/(3600 s) = π/1800 rad/s
ω_j (jarum jam) = 2π/(12 x 3600 s) = π/21600 rad/s
maka ω_d : ω_m : ω_j = (π/30) : (π/1800) : (π/21600) = 720 : 12 : 1

Soal 4
Sebuah partikel bergerak melingkar beraturan dengan pusat  pada bidang kartesius xy. Pada titik (x = 4 m, y = 0) partikel memiliki kecepatan  –5,0j m/s. Tentukan kecepatan partikel ketika: (a) x = 0, y = -4 m; (b) x = -4 m, y = 0; (c) x = 0, y = 4 m dan (d) x = -2,83 m, y = 2,83 m.

Jawab:
(a) x = 0, y = -4 m
Kecepatan merupakan kemiringan garis singgung dengan lintasan melingkar,
v = -5i m/s (gerak melingkar searah jarum jam pada sistem xy)
a = v²/R = (5 m/s)²/(4 m) = 6,25 m/s²
a = 6,25j m/s² (selalu menuju pusat)

(b) x = -4 m, y = 0
v = 5j m/s (gerak melingkar searah jarum jam pada sistem xy)
Percepatan gerak selalu konstan yang besarnya  6,25 m/s², maka
a = 6,25i m/s² (selalu menuju pusat)

(c) x = 0, y = 4 m
v = 5i m/
a = -6,25j m/s² (selalu menuju pusat)

(d) x = -2,83 m, y = 2,83 m
Kecepatan linear gerak 5 m/s dan kemiringan garis singgung adalah tan θ = – 1, θ = 45⁰ terhadap sumbu x negatif, maka
v = 5 m/s(cos 45⁰ i + sin 45⁰ j)
v = (3,54i + 3,54j) m/s
besarnya percepatan tetap 6,25 m/s dan menuju pusat maka,
a = 6,25 m/s²(cos 315⁰ i + sin 315⁰ j)
a = (4,42i + 4,42j) m/s²

Soal 5
Anda merancang baling-baling pesawat yang berputar pada 2400 rpm seperti gambar. Kecepatan pesawat ke depan adalah 75,0 m/s dan kecepatan ujung bilah baling-baling melalui udara tidak boleh melebihi 270 m/s. (Ini sekitar 80% dari kecepatan bunyi di udara Jika kecepatan baling-baling lebih besar dari Ini, mereka akan menghasilkan banyak suara.) (a) Berapa radius maksimum  baling-baling? dan (b) Dengan jari-jari ini, berapakah percepatan baling-baling?

 

Jawab:

Mengubah kecepatan angular baling-baling dalam rad/s adalah
ω = 2400 put/menit = 2400(2π rad)/(60 detik) = 80π rad/s = 251 rad/s
(a) dari gambar kita tuliskan,
v_T² = v²_tan + v²_pesawat = r²ω² + v²_pesawat
(270 m/s)² = r²(251 rad/s)² + (75,0 m/s)²
(251 rad/s)²r² = (270 m/s)² –  (75,0 m/s)² = 67275
r = 1,03 m

(b) Percepatan sentripetal partikel adalah
a_s = ω²r = (251 rad/s)²(1,03 m) = 6,5 x 10⁴ m/s² = 6600g