Penyelesaian Soal Titik Berat

Soal 1
Perhatikan gambar di bawah ini!

Letak koordinat titik berat bangun dari titik A adalah.....
A. 3,5 cm      B. 3,33 cm       C. 2,33 cm   D. 2,66 cm    E. 2,5 cm 

Jawab:
Luas dan titik berat masing-masing benda adalah
A₁ = 6 cm x 4 cm = 24 cm², x₁ = 3 cm, y₁ = 2 cm
A₂ = ½ x 4 cm x 3 cm = 6 cm², x₂ = 3 + (2/3) x 3 cm = 5 cm, y₂ = 2 cm
 
Titik berat kedua benda pada sumbu y sama maka titik berat sistem gabungan kedua benda pada sumbu y adalah y₀ = 2 cm

Maka kita peroleh titik berat sistem tersebut pada sumbu x adalah

X₀ = [A₁x₁ + A₂x₂]/[A₁ + A₂]
     = [(24 cm² x 3 cm) + (– 6 cm² x 5 cm)]/[24 cm² + (– 6 cm²)]
X₀ = 2,33 cm

Soal 2

Koordinat titik berat gambar diatas adalah . . . .
A. y₀ = 5,6 cm B. y₀ = 5,9 cm C. y_­0 = 6,3 cm     D. y₀ = 6,7 cm     D. y₀ = 6,9 cm

Jawab:

Luas dan titik berat masing-masing benda adalah
A_A = 12 cm x 8 cm = 96 cm², x_A = 4 cm, y_A = 6 cm
A_B = ½ x 8 cm x 3 cm = 12 cm², x_B = 4 cm, y_B =  (1/3) x 3 cm = 1 cm

Titik berat kedua benda pada sumbu y sama maka titik berat sistem gabungan kedua benda pada sumbu x adalah x₀ = 4 cm

Maka kita peroleh titik berat sistem tersebut pada sumbu y adalah

Y₀ = [A_Ax_A + A_Bx_B]/[A_A + A_B]
     = [(96 cm² x 6 cm) + (– 12 cm² x 1 cm)]/[96 cm² + (– 12 cm²)]
X₀ = 6,7 cm

Soal 3

Letak titik berat benda berbentuk huruf T seperti pada gambar di atas adalah . . . .

A. (3,5; 2) cm  B. (3; 3) cm    C. (2,5; 3,2) cm   D. (2; 3,5) cm   E. (1,5; 3,7) cm

Jawab:
Bidang I (Persegi panjang bawah)
A₁ = 2 × 4 = 8 cm²; x₁ = 2 cm; y₁ = 2 cm
Bidang II (Persegi panjang atas)
A₂ = 2 × 4 = 8 cm²; x₂ = 2 cm; y₂ = 4 + 1 = 5 cm

 

Maka kita peroleh titik berat sistem tersebut pada sumbu x adalah

X₀ = [A₁x₁ + A₂x₂]/[A₁ + A₂]
     = [(4 cm x 2 cm) + (10 cm x 4 cm) + (6 cm x 5 cm)]/[4 cm + 10 cm + 6 cm]
X₀ = 2 cm

Dan titik berat sistem pada sumbu y adalah
X₀ = [A₁y₁ + A₂y₂]/[A₁ + A₂]
     = [(8 cm² x 2 cm) + (8 cm² x 5 cm)]/[8 cm² + 8 cm²]
X₀ = 3,5 cm
Jadi, koordinat titik berat bangun diatas adalah (2; 3,5)

Soal 4
Perhatikan gambar di bawah ini!

Koordinat titik berat gambar diatas adalah
A. (2,4 ; 8,2 )   B. (2,9 ; 4,6 )     C. (2,9 ; 4,3 )    D. (4,2 ; 3,2 )     E. (6,4 ; 4,3 )

Jawab:
Panjang dan titik berat masing-masing benda di atas adalah
L₁ = 8 cm, x₁ = 2 cm, y₁ = 4 cm
L₂ = 6 cm , x₂ = 3 cm, y₂ = 4 cm
L₃ = 6 cm, x₃ = 4 cm, y₃ = 5 cm

 

Maka kita peroleh titik berat sistem tersebut pada sumbu x adalah

X₀ = [L₁x₁ + L₂x₂ + L₃x₃]/[L₁ + L₂ + L₃]
     = [(8 cm x 2 cm) + (6 cm x 3 cm) + (6 cm x 4 cm)]/[8 cm + 6 cm + 6 cm]
X₀ = 2,9 cm

Dan titik berat sistem pada sumbu y adalah
Y₀ = [L₁y₁ + L₂y₂ + L₃y₃]/[L₁ + L₂ + L₃]
     = [(8 cm x 4 cm) + (6 cm x 4 cm) + (6 cm x 5 cm)]/[8 cm + 6 cm + 6 cm]
Y₀ = 4,3 cm

Soal 5

















Koordinat titik berat gambar diatas adalah
A. ( 3,9 ; 5,1 )   B. ( 4,4 ; 6,8)     C. ( 4,4 ; 6,2 )     D. (3,,9 ; 6,2 )     E.( 8,6 ; 4,6 )

Jawab:
Panjang dan titik berat masing-masing benda di atas adalah
L₁ = 4 cm, x₁ = 2 cm, y₁ = 4 cm
L₂ = 10 cm , x₂ = 4 cm, y₂ = 5 cm
L₃ = 6 cm, x₃ = 5 cm, y₃ = 6 cm

Maka kita peroleh titik berat sistem tersebut pada sumbu x adalah
X₀ = [L₁x₁ + L₂x₂ + L₃x₃]/[L₁ + L₂ + L₃]
     = [(4 cm x 2 cm) + (10 cm x 4 cm) + (6 cm x 5 cm)]/[4 cm + 10 cm + 6 cm]
X₀ = 3,9 cm

Dan titik berat sistem pada sumbu y adalah
Y₀ = [L₁y₁ + L₂y₂ + L₃y₃]/[L₁ + L₂ + L₃]
     = [(4 cm x 4 cm) + (10 cm x 5 cm) + (6 cm x 6 cm)]/[4 cm + 10 cm + 6 cm]
Y₀ = 5,1 cm

Soal kesetimbangan benda tegar dan penyelesaiannya

Soal 1
Dua kabel digunakan untuk menopang massa 9,0 kg pada batang horisontal dengan panjang 2,1 m dan massa 21 kg seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini! Tentukan tegangan tali T!

Solusi:

Gambar gaya-gaya yang bekerja pada batang ditunjukkan pada gambar di bawah ini
Dengan mengambil poros sistem di titik O (ujung kiri batang), maka
Στ_O = 0
T(2,1 m) – (90 N)(1,05 m) – (210 N)(1,2 m) = 0
T(2,1 m) = 94,5 Nm + 252 Nm = 346,5 Nm
T = 165 N

Soal 2
Salah satu ujung sebuah tongkat homogen (massa m dan panjang tali L), tergantung dengan menggunakan tali dan ujung tongkat lainnya bersentuhan dengan lantai dalam keadaan diam. Tongkat tersebut membentuk sudut θ terhadap horisontal. Tentukan gaya tegangan tali!

Solusi:

Ambil poros di titik A, maka gaya normal pada A (N_A) tidak menyebabkan torsi. Sehingga hanya gaya berat tongkat w, dan gaya tegangan tali T yang menyebabkan torsi pada A. Lengan momen untuk masing-masing gaya diukur dari poros A adalah

Gaya w, lengan momennya à AC’ = ½ L cos θ
Gaya T, lengan momennya à AB’ = L cos θ
Maka resultan momen gaya pada titik A adalah
Στ_A = 0
(w x ½ L cos θ) – (T x L cos θ) = 0
T = ½mg

Soal 3
Batang homogen bermassa m diikat dengan tali A dan B setimbang pada posisi seperti pada gambar di bawah ini, dengan tali B horisontal. Tentukan nilai tan θ.
  
Jawab:

Ambil poros di titik P, maka gaya tegangan tali pada P (T_A) tidak menyebabkan torsi. Sehingga hanya gaya berat tongkat w, dan gaya tegangan tali T yang menyebabkan torsi pada A. Lengan momen untuk masing-masing gaya diukur dari poros A adalah

→ resultan gaya-gaya pada sumbu-x
ΣF_x = 0
T_B – T_A sin θ = 0 à T_B =  T_A sin θ                  (1)

→ resultan gaya-gaya pada sumbu-y
ΣF_y = 0
T_A cos θ – w = 0 à w = T_A cos θ                  (2)

→ rotasi terhadap titik P
Poros di titik P, maka resultan momen gaya pada P adalah
Στ_P = 0
T_B x PP’ + (– w x QR’) = 0
T_B L sin α + (– w x ½ L cos α) = 0
T_B = ½ w cot α                  (3)

Bagi persamaan (1) dan (2) kita peroleh
(T_A sin θ)/(T_A cos θ) = T_B/w
tan θ = T_B/w                      (4)
Subtitusi (3) ke (4) kita peroleh
tan θ = (½ w cot α)/w
tan θ = ½ cot α
karena nilai cot α = 30 cm /20 cm = 3/2, maka
tan θ = 3/4

Soal 4
Sebuah batang homogen dengan berat W digantung pada dua utas tali yang massanya diabaikan seperti terlihat pada gambar di bawah ini! Tentukan pusat massa batang (pusat gravitasi) d dari ujung kiri batang!

Jawab:

panjang batang, l= 2 m
T₁ dan T₂ adalah gaya tegangan tali yang dihasilkan akibat berat batang.
Keseimbangan statis memberikan:
T₁ Sin 36.9⁰ = T₂ Sin 53.1⁰
T₁ / T₂ = 4 / 3
⇒ T₁ = (4/3) T₂

Untuk keseimbangan rotasi dengan poros di pusat berat batang:
T₁ (Cos 36.9) × d = T₂ Cos 53.1 (2 - d)
T₁ × 0.800 d = T₂ × 0.600 (2 - d)
(4/3) × T₂ × 0.800d = T₂ (0.600 × 2 - 0.600d)
1.067d + 0.6d = 1.2
∴ d = 1.2 / 1.67
= 0.72 m
oleh karena itu pusat gravitasi dari batang 0,72 m dari ujung kiri batang.

Soal 6:
Untuk Sistem di bawah ini, jika berat batang pejal 40 N dan berat beban 60 N. Tentukan besar T₁, T₂ dan T₃!

jawab:
Sistem dalam keadaan setimbang maka gaya-gaya yang bekerja pada titik A dan batang seperti gambar di bawah ini

Gaya-gaya yang bekerja pada titik A untuk sumbu y membertikan,
T₂ sin 45⁰ = 60 N
T₂ = 60/sin 45⁰ = 60√2 N
Gaya-gaya yang bekerja pada titik A untuk sumbu x membertikan,
T₁ = T₂ cos 45⁰ = (60√2 N) cos 45⁰ = 60 N
Batang dalam keadaan setimbang dengan mengambil poros di titik B, maka
Στ_B = 0
– T₂L + (T₃ sin 30⁰) x L + (40N) x (½ L cos 45⁰) = 0
– (60√2 N)L + T₃ (½L) – (20N) L (½√2) = 0

T₃ = 140√2 N 

Soal 7:

Sistem pada gambar dalam keadaan setimbang statis. Tentukan besar T₁, T₂ dan berat batang!

Jawab:
Diagram gaya yang bekerja pada sistem seperti ditunjukan pada gambar

Gaya-gaya yang bekerja pada titik A untuk sumbu y memberikan
T_2y = 100 N = T₂ cos 45⁰
T₂ = 100 N/cos 45⁰ = 100√2 N
Gaya-gaya yang bekerja pada titik A untuk sumbu x memberikan
T₁ = T_2x = T₂ sin 45⁰
T₂ = (100√2 N) sin 45⁰ = 100 N
Gaya-gaya yang bekerja pada batang memberikan torsi pada titik B, maka
Στ_B = 0
(T₂ sin 37⁰)L – w(½ Lcos 37⁰) = 0
(100 N)(3/5) = w (1/2)(4/5)
w = 150 N

Soal 8:

Sebuah balok batang seragam diengsel pada tanah dan berdiri tegak seperti pada sistem gambar di bawah ini. Tentukan besar T₁, T₂ dan gaya-gaya yang bekerja pada engsel!

Jawab:
Gaya-gaya bebas yang bekerja pada benda ditunjukkan pada gambar di bawah ini,

Dari sistem benda 100 N, kita peroleh
T₁ – 100 N = 0
T₁ = 100 N
Dengan mengambil poros pada titik A, kita rumuskan
Στ_A = 0
T_2x (L/2) + (– T₁L) = 0
T₂ (cos 37⁰) = 2(100 N)
T₂ = 250 N
Jumlah gaya-gaya pada sumbu x sama dengan nol
ΣF_x = 0
T₁ + F_x – T_2x = 0
F_x = T_2x – T₁ =  T₂ (cos 37⁰) – 100 N
F_x = (250 N)(cos 37⁰) – 100 N
F_x = 100 N
Jumlah gaya-gaya pada sumbu x sama dengan nol
ΣF_y = 0
F_y – T_2y = 0
F_y = T₂ sin 37⁰ = (250 N) sin 37⁰
F_y = 150 N                                  

Soal dan penyelesaian kesetimbangan benda tegar

Soal 1
Sebuah batang uniform berat 200 N dan digantungkan beban 450 N seperti pada Gambar di bawah ini. Hitunglah besar gaya pada batang oleh 2 titik tumpuh di ujung-ujungnya.
 

Jawab:
Karena batang uniform maka pusat massanya tau pusat gravitasinya berada di pusat geometrinya yaitu ½ panjang, ½ L. Juga gaya yang diberikan oleh beban dirasakan juga sebagai gaya oleh batang pada titik dimana dikaitkan. Misalnya pada ¼ L dari ujung kanan seperti pada gambar. Kita mengingat dua syarat kesetimbangan yaitu: ΣF=0 dan Στ=0. (Ingat: τ=FxL). Dalam soal ini, semua gaya hanya pada arah y dan tidak ada gaya pada arah yang lain. Dengan demikian, ΣF_y=0, sehingga F₁+F₂-200-450=0. Sebuah sumbu untuk menghitung torsi dapat ditentukan sembarang asalkan dapam pengerjaan lebih lanjut kita tetap konsisten. Misalnya dalam kasus ini kita memilihnya di titik A maka F₁ tidak akan menghasilkan torsi. Maka persamaan torsinya, Στ=0, yaitu: -(200)(L/2)-(450)(3L/4)+F₂L=0. (Ingat: dalam menentukan arah kita mengambil tanda negatif, jika kita memutar dari batang ke gaya searah jarum jam. Tanda positif sebaliknya, yaitu memutar dari matang ke gaya berlawanan dengan jarum jam).  Dengan mensubstitusikan kedua persamaan di atas, maka diperoleh F₂=438 N. Jika harga F₂ disubstitusikan pada persamaan gaya maka kita peroleh F₁=212 N.

Soal 2: 
Sebuah mobil memiliki massa 1800 kg. Jarak antara as roda depan dan as roda belakang adalah 1,8 m. Titik pusat massa mobil terletak 1,05 m di belakang as roda depan. Tentukan gaya yang diberikan oleh tanah pada masing-masing ban!

Jawab:

R_fand R_b gaya yang diberikan oleh tanah pada masing-masing roda depan dan roda belakang

Tinjau keseimbangan translasi:
R_f + R_b = mg
= 1800 × 9.8
= 17640 N   ....(i)
Untuk keseimbangan rotasi dengan pusat rotasi di titik pusat massa z,
R_f(1.05) = R_b(1.8 - 1.05)
R_b / R_f  =  7 / 5
R_b = 1.4 R_f    ......(ii)
Persamaan (i) dan (ii), memberikan:
1.4R_f + R_f = 17640
R_f = 7350 N
∴ R_b= 17640 – 7350 = 10290 N

Oleh karena itu, gaya yang bekerja pada roda depan adalah = 7350/2  =  3675 N, dan
gaya yang bekerja pada roda belakang adalah = 10290/2  =  5145 N

Soal 3: Seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini! Dua tangga BA dan CA dengan panjang 1,6 m berengsel di A. Tali DE dengan panjang 0,5 m terikat di tengah-tengah kedua tangga. Sebuah beban 40 kg digantung pada titik F sepanjang 1,2 m dari B sepanjang batang BA. Dengan asumsi gesekan dan berat tangga diabaikan, tentukan tegangan tali dan gaya yang diberikan lantai pada tangga.

  

Jawab:

N_B = Gaya yang diberikan lantai pada tangga di titik B
N_C = Gaya yang diberikan lantai pada tangga di titik C
T = Tegangan tali
BA = CA = 1.6 m
DE = 0. 5 m
BF = 1.2 m
massa beban, m = 40 kg

Manarik garis dari A ke lantai BC. Ini memotong DE di titik tenga H.
ΔABI dan ΔAIC sebangun,
∴BI = IC
Oleh karena itu, I adalah titik tengah BC.
DE || BC
BC = 2 × DE = 1 m
AF = BA – BF = 0.4 m … (i)
D adalah titik tengah AB, maka:
AD = (1/2) × BA  =  0.8 m   ...(ii)
Dari persamaan (i) dan (ii), kita dapatkan:
FE = 0.4 m
Oleh karena itu, F adalah titik tengah AD.
FG||DH dan F adalah titik tengah AD. Maka, G menjadi titik tengah AH.
ΔAFG dan ΔADH adalah sebangun
∴ FG / DH  = AF / AD
FG / DH  =  0.4 / 0.8  =  1 / 2
FG = (1/2) DH
= (1/2) × 0.25  =  0.125 m
 Dalam ΔADH:
AH = (AD² - DH²)^1/2
= (0.8² - 0.25²)^1/2  =  0.76 m
Untuk keseimbangan translasi, jumlah gaya ke atas sama dengan jumlah gaya ke bawah, sehingga
N_c + N_B = mg = 392 … (iii)
Untuk keseimbangan rotasi dengan poros di A:
-N_B × BI + mg × FG + N_C × CI + T × AG - T × AG  =  0
-N_B × 0.5 + 40 × 9.8 × 0.125 + N_C × 0.5  =  0
(N_C - N_B) × 0.5 = 49
N_C - N_B = 98   .....(iv)
Menambahkan persamaan (iii) dan (iv), memberikan:
N_C = 245 N
N_B = 147 N
Untuk keseimbangan rotasi dari sisi AB, dengan poros di A.
-N_B × BI + mg × FG + T × AG  =  0
-245 × 0.5 + 40 X 9.8 × 0.125 + T × 0.76  =  0
∴ T = 96.7 N.

Soal 4:

Tukang cat 60 kg meniki tangga yang panjangnya 5 m dan massanya 12 kg. Permukaan tangga dan lantai kasar dan permukaan tangga dan dinding licin. Jika jarak horisontal tangga ke dinding 3 m. Berapakah meter yang harus ditempuh tukang cat saat menaiki tangga sampai tangganya tepat akan tergelincir.

Jawab:

Resultan gaya pada sumbu y:

ΣF_y = 0 = N_A – 600 N – 120 N

N_A = 720 N

Besar gaya gesek antara tangga dan lantai adalah

f_A = μ N_A = 0,3 x 720 N = 360 N

Resultan gaya pada sumbu x:

ΣF_y = 0 = N_B – f_A = 0

N_B = f_A= 360 N

Poros di titik A: AD = x cos θ = 3x/5; AE = L/2 cos θ = 3L/10 = 1,5 m; AC = L sin θ = 4L/5 = 4 m

Στ_A = 0 = - N_B(AC) + (600 N) (AD) + (120 N)(AE)

0 = - (360 N)(4 m) + (600 N)( 3x/5) + (120 N)(1,5 m)

12 = 3x + 3

x = 3 m

Jadi tangga tepat akan tergelincir saat tukang cat berapa di 3 m dari lantai!

Soal 5:
Jembatan penyeberangan yang beratnya 20000 N yang memiliki dua penumpu seperti pada gambar dilewati mobil yang memiliki berat 15000 N.Berapa jarak mobil dari titik A yang membuat papan akan roboh?
 

Solusi:

Misalnya posisi mobil dari titik A adalah d ketika jembatan akan roboh dan ketika itu papan tepat akan kehilangan kontak dengan penumpu di titik C, maka berlaku:

Στ_B= 0

W₂ (4 m – d) = W₁(2,5 m)

15000 N (4 m – d) = 20000 N x 2,5 m

600 – 75d = 500

d = 1,33 m

Jadi mobil berjalan sekitar 1,33 m dari A jembatan akan roboh.

Soal 6
Tentukan gaya F ketika diberikan pada pusat massa sebuah roda kursi agar tepat akan naik pada tangga setinggi h, jika jari-jari R dan berat roda w.

Jawab:

Roda tepat naik pada tangga artinya resultan momen gaya yang bekerja pada titik A harus sama dengan nol (Στ = 0)

momen gaya pada titik A diakibatkan oleh gaya F dan gaya berat roda w = mg, dengan masing-masing gaya memiliki lengan momen adalah
F lengan momennya OB = R – h
w lengan momennya AB = {R² – (R – h)²}^1/2 = {(2R – h)h}^1/2
maka
– F(R – h) + w{(2R – h)h}^1/2 = 0

F = {(2R – h)h}^1/2/(R – h)

Soal dan penyelesaian titik berat

Soal 1
Tentukan letak titik berat bangun seperti gambar di bawah ini!

Solusi

Dari gambar diketahui;
Kawat 1 (warna merah), L₁ = 6 cm, x₁ = 3 cm, y₁ = 3 cm
Kawat 2 (warna biru), L₂ = 6 cm, x₂ = 6 cm, y₂ = 3 cm
Kawat 3 (kawat ungu) L₃ = 4 cm, x₃ = 2 cm, y₃ = 5 cm
Kawat 4 (kawat hijau) L₄ = 4 cm, x₄ = 6 cm, y₄ = 6 cm
X₀ = (x₁L₁ + x₂L₂ + x₃L₃ + x₄L₄)/(L₁ + L₂ + L₃ + L₄)
X₀ = (3 x 6 + 6 x 6 + 2 x 4 + 6 x 4)/(6 + 6 + 4 + 4) = 4,3 cm
Dan
y₀ = (y₁L₁ + y₂L₂ + y₃L₃ + y₄L₄)/(L₁ + L₂ + L₃ + L₄)
y₀ = (3 x 6 + 3 x 6 + 5 x 4 + 6 x 4)/(6 + 6 + 4 + 4) = 4,0 cm
Jadi koordinat titik berat untuk sistem kawat di atas adalah (x₀,y₀) = (4,3 cm;4,0 cm)

Soal 2
Tentukan letak titik berat sistem pelat di bawah ini!

Solusi:

Dari gambar diketahui;
Pelat 1 (warna merah), A₁ = p x l = 3 cm x 6 cm = 18 cm², x₁ = 3 cm, y₁ = 1,5 cm
Pelat 2 (warna biru), A₂ = ½ Alas x tinggi = ½ x 6 cm x 3 cm = 9 cm², x₂ = 4,5 cm, y₂ = 4 cm
X₀ = (x₁A₁ + x₂A₂ )/(A₁ + A₂)
X₀ = (3 x 18 + 4,5  x 9)/(18 + 9) = 3,5 cm²
Dan
y₀ = (y₁A₁ + y₂A₂ )/(A₁ + A₂)
y₀ = (1,5 x 18 + 4 x 9)/(18 + 9) = 2,3 cm²
Jadi koordinat titik berat untuk sistem pelat di atas adalah (x₀,y₀) = (3,5 cm²;2,3 cm²)

Soal 3
Untuk bangunan pejal seperti di gambar, tentukan letak titik berat diukur terhadap titik O!

Solusi:

Dari gambar diketahui;
Volume 1 (warna hijau), V₁ = πR²t  = π(6 cm)² x 10 cm = 360π cm³, x₁ = 0 cm, y₁ = 5,0 cm
Volume 2 (warna orange), V₂ = 1/3 Alas x tinggi = 1/3 x π(6 cm)²  x 5 cm = 60π cm³, x₂ = 0 cm, y₂ = 10 + ¼ (5) = 11,25 cm
X₀ = (x₁V₁ + x₂V₂ )/(V₁ + V₂) = 0 dan
y₀ = (y₁V₁ + y₂V₂ )/(V₁ + V₂)
y₀ = (5 x 360π + 11,25 x 60π)/(360π + 60π) = 5,89 cm³
Jadi koordinat titik berat untuk sistem volume di atas adalah (x₀,y₀) = (0;5,89 cm³)

Soal 4
Potongan lempengan baja berbentuk seperti bangun di bawah ini! Tentukan koordinat pusat massanya!

A₁ = (10 cm)(30 cm) = 300 cm² 
A₂ = (20 cm)(10 cm) = 200 cm²
A₃ = (10 cm)(10 cm) = 100 cm²
A   = 600 cm²
M₁= M(A₁/A) = M(300 cm²/600 cm²) = M/2
M₂= M(A₂/A) = M(200 cm²/600 cm²) = M/3
M₃= M(A₃/A) = M(100 cm²/600 cm²) = M/6
x₀ =(1/M)(x₁M₁ + x₂M₂+ x₃M₃ ) =(1/M)[15 cm(M/2) + 5 cm(M/3) + 15 cm(M/6)]
       = 11.7 cm 
y₀ =(1/M)(y₁M₁ + y₂M₂+ y₃M₃ ) =(1/M)[5 cm(M/2) + 20 cm(M/3) + 25 cm(M/6)
       = 13.3 cm