Pelayangan Bunyi

Saat dua gelombang bunyi dengan frekuensi sama bertemu, kita telah melihat bagaimana prinsip superposisi linear dapat menjelaskan interferensi konkruktif dan interferensi deskruktif.

Bagaimana jika dua gelombang bunyi dengan frekuensi yang sedikit berbeda saling bertemu?
Jika dua sumber gelombang bunyi dengan frekuensi yang hampir sama (sedikit berbeda) bertemu, akan terjadi yang namanya pelayangan (beats).

Gambar 1

Gambar 1 di atas merupakan dua garputala (memiliki sifat menghasilkan frekuensi tunggal ketika digetarkan) yang diletakkan sejajar dan menghasilkan nada dengan frekuensi 440 Hz. Salah satu garputala ditempeli segumpal kecil dempul sehingga frekuensinya berkurang menjadi 438 Hz. Ketika kedua garputala digetarkan serentak, kuat bunyi yang dihasilkan naik dan turun secara periodik, kemudian kuat, kemudian lemah, dan seterusnya. Variasi kuat-lemahnya bunyi secara periodik disebut pelayangan.

Gambar 2

Misalkan dua gelombang bunyi menjalar dalam suatu medium dengan kecepatan v dan amplitudo A serta waktu yang sama. Apabila gelombang yang satu mempunyai frekuensi f₁ (kecepatan sudut ω₁ = 2πf₁)  dan gelombang lainnya dengan frekuensi f₂ (kecepatan sudut ω₂ = 2πf₂), persamaan simpangan gelombang bunyi masing-masing adalah

y₁ = A sin ω₁t dan y₂ = A sin ω₂t

Hasil superposisi kedua gelombang adalah sebagai berikut,

y = y₁ + y₂ = A sin ω₁t + A sin ω₂t

dengan menggunakan aturan trigonometri

y = sin a + sin b = 2 cos ½(a – b) sin ½ (a + b), maka
y = A[sin ω₁t + sin ω₂t]

y = 2A cos [(ω₁ – ω₂)t/2] sin [(ω₁ + ω₁)t/2] (*)

persamaan ini menunjukkan bahwa hasil superposisi gelombang di suatu titik juga bergetar harmonik dengan amplitudo A_p, yaitu

A_P = 2A cos [(ω₁ – ω₂)t/2] (**)

Persamaan (**) di atas menunjukkan bahwa amplitudo merupakan fungsi waktu sehingga mempunyai nilai maksimum minimum yang berulang secara periodik dengan frekuensi sudut seperti berikut,
Δω = (ω₁ – ω₂)/2
2πf = (2πf₁ – 2πf₂)/2
f = (f₁ – f₂)/2

1 layangan didefinisikan sebagai gejala dua bunyi keras atau dua bunyi lemah secara berurutan, (1 layangan = keras-lemah-keras atau lemah-keras-lemah)

Dari gambar tampak bahwa periode pelayangan yang terjadi adalah setengah periode gelombang (T), maka
T_L = ½ T  atau f_L = ½ f, maka
f_L = ½ [(f₁ – f₂)/2]

f_L =  |f₁ – f₂|

f_L = frekuensi layangan!

Gelombang Bunyi pada Dawai atau Senar

Kita telah mempelajari bahwa superposisi antara gelombang datang transeversal dan gelombang pantul transversal oleh ujung tetap dari seutas tali menghasilkan gelombang stasioner transversal yang amplitudonya berubah-ubah. Titik-titik saat amplitudonya maksimum disebut perut dan titik-titik saat amplitudonya nol disebut simpul. Dengan demikian, gelombang stasioner transversal pada senar terdiri atas sejumlah simpul dan perut.

Formulasi frekuensi atau resonansi pada senar

Gelombang stasioner transversal pada tali, senar atau dawai yeng terdiri atas sejumlah perut dan simpul telah kita amati ketika melalukan percobaan Melde. Kita akan menentukan formulasi frekuensi untuk nada-nada senar dengan menggambar ulang pola-pola resonansi (gambar.1)
Perhatikan seutas senar dengan panjang L yang diikat kedua ujungnya seperti gambar 1. Keempat pola gelombang stasioner yang dapat dihasilkan senar ini ditunjukkan pada gambar 1a, 1b, 1c, dan 1d. Setiap pola memiliki frekuensi tertentu.

Gambar 1: Superposisi gelombang stasioner pada dawai atau senar

Pertama, perhatikan bahwa pada ujung-ujung senar harus terjadi simpul (S) karena titik-titik ini terikat. Pola gelombang untuk nada dasar ditunjukkan pada gambar 1a. Disini terjadi dua simpul dan satu perut, dan panjang senar sama dengan λ/2 (jarak antara dua simpul).
L = λ₁/2 dan λ₁= 2L
Frekuensi nada dasar adalah sebagai berikut
f₁ = v/λ₁ = v/2L
ingat bahwa cepat rambat gelombang transversal dalam senar diberikan oleh

Dengan demikian, kita dapat menyatakan bahwa,

Persamaan ini pertama kali ditemukan oleh Mersenne sehingga persamaan ini dikenal sebagai hukum Marsenne.
Pola nada berikutnya dengan panjang gelombang λ₂ disebut nada atas pertama (harmonik kedua). Ini terjadi dengan menyisipkan sebuah perut di antara kedua ujung yang terikat sehinggauntuk nada atas pertama terjadi tiga simpul dan 2 perut, dan panjang senar sama dengan λ₂.

L = λ₂ atau λ₂ = L

Maka frekuensi nada atas ke satu (harmonik kedua) sebagai berikut,

f₂ = v/λ₂ = v/L = 2v/2L = 2f₁

perhatikan bahwa frekuensi ini sama dengan dua kali frekuensi nada dasar (harmonik pertama). Selanjutnya kita akan memperoleh bahwa frekuensi nada atas kedua (harmonik ketiga) sebagai

f₃ = v/λ₃ = 3v/2L = 3f₁

dengan f₁, f₂, f₃ dan seterusnya disebut frekuensi alami atau frekuensi resonansi.

Secara umum frekuensi alami senar dinyatakan sebagai,

Dengan n = 1, 2 , 3, 4, dan seterusnya.
Dengan kata lain, frekuensi nada-nada atas senar adalah kelipatan bulat dari frekuensi nada dasarnya. Frekuensi f₁, 2f₁, 3f₁, dan seterusnya membentuk deret harmonik. Frekuensi nada dasar disebut juga dengan harmonik pertama, frekuensi nada atas pertama disebut juga harmonik kedua, dan seterusnya.

Efek Doppler

Bila sebuah mobil bergerak mendekati Anda sambil membunyikan klakson, Anda akan mendengar frekuensi bunyi klakson yang semakin tinggi. Sebaliknya, jika mobil itu bergerak menjauhi Anda, Anda akan mendengar frekuensi bunyi klakson yang semakin rendah.

Fenomena ini pertama kali dijelaskan oleh ilmuwan berkebangsaan Austria Christian Doppler sekitar abad pertengahan, sehingga dinamakan efek Doppler. Secara umum, bila sumber bunyi dan pendengar bergerak relatif satu sama lain, maka frekuensi bunyi yang didengar oleh pendengar tidak sama dengan frekuensi sumber bunyi.

Untuk menganalisis efek Doppler pada gelombang bunyi, kita akan menentukan hubungan antara pergeseran frekuensi, kecepatan sumber, dan kecepatan pendengar relatif terhadap medium (udara) yang dilalui oleh gelombang bunyi tersebut. Untuk menyederhanakan, kita hanya akan membahas keadaan khusus di mana kecepatan sumber dan pendengar keduanya terletak sepanjang garis lurus yang menghubungkan keduanya. Dalam membahas efek Doppler, v_s dan v_p berturut-turut menunjukkan komponen-komponen kecepatan sumber bunyi dan kecepatan pendengar, relatif terhadap medium. Kita akan memilih arah positif untuk v_s dan v_p sebagai arah dari pendengar Pke sumber S. Laju perambatan bunyi relatif terhadap medium, yaitu v selalu positif. 

Pendengar yang  Bergerak

Gambar 1: Pendengar yang bergerak menuju sumber bunyi yang tidak bergerak akan mendengar frekuensi yang lebih tinggi daripada frekuensi sumber bunyi.

Gambar 1 menunjukkan seorang pendengar P yang bergerak dengan kecepatan v_pmenuju sumber bunyi S yang diam. Sumber bunyi itu memancarkan gelombang bunyi dengan frekuensi f_s dan panjang gelombang λ v/f_s. Perrhatikan beberapa puncak gelombang yang terpisah dengan jarak yang sama, yaitu λ. Puncak-puncak gelombang yang mendekati pendengar yang bergerak itu mempunyai laju perambatan relatif terhadap pendengar sebesar v + v_p. Jadi, frekuensi f_pdi mana puncak-puncak gelombang itu tiba di posisi pendengar (artinya, frekuensi yang didengar oleh pendengar) adalah

Dengan demikian, pendengar yang bergerak menuju sumber bunyi seperti pada Gambar 1 pendengar akan mendengar frekuensi yang lebih tinggi daripada yang didengar oleh pendengar yang diam. Sebaliknya, pendengar yang bergerak menjauhi sumber bunyi akan mendengar frekuensi yang lebih rendah.

Sumber Bunyi dan Pendengar Bergerak

Apa yang terjadi jika sumber bunyi bergerak? Gambar 3.6 menunjukkan sebuah sumber bunyi yang bergerak dengan kecepatan v_s. Laju gelombang bunyi relatif terhadap medium (udara) adalah v Laju gelombang bunyi nilai tetap, tidak bergantung pada gerak sumber. Akan tetapi, panjang gelombang bunyi tidak sama dengan v/f_s.  Mengapa demikian? Waktu untuk pancaran satu siklus gelombang sama dengan periode T = 1/f_s. Dalam waktu T = 1/f_sini gelombang merambat sejauh vT = v/f_s dan sumber bunyi merambat sejauh v_s T = v_s/f_s. Panjang gelombang adalah jarak antara dua puncak gelombang yang berurutan. Seperti ditunjukkan pada Gambar 2, panjang gelombang di depan sumber berbeda dengan panjang gelombang di belakang sumber. Di depan sumber, yaitu di sebelah kanan Gambar 2, panjang gelombangnya adalah

Di belakang sumber, yaitu di sebelah kiri Gambar 2, panjang gelombangnya adalah

Perhatikan bahwa gelombang-gelombang di depan sumber merapat, sedangkan gelombang-gelombang di belakang sumber merenggang.

Gambar 2: Puncak-puncak gelombang yang dipancarkan oleh sumber bunyi yang bergerak. Di depan sumber bunyi puncak-puncak gelombang merapat, sedangkan di belakang sumber puncak-puncak gelombang merenggang.

Untuk menentukan frekuensi yang didengar oleh pendengar di belakang sumber, kita substitusi Persamaan (4) ke Persamaan (1) yang pertama. Diperoleh,

Persamaan (5) berlaku untuk semua kemungkinan gerak sumber bunyi dan pendengar (relatif terhadap medium udara) sepanjang garis yang menghubungkan sumber bunyi dan pendengar itu. Jika pendengar diam,v_p. Jika sumber bunyi dan pendengar keduanya diam atau memiliki kecepatan yang sama relatif terhadap medium, v_p = v_s dan f_p = f_s. Jika arak kecepatan sumber atau arah kecepatan pendengar berlawanan dengan arah pendengar menuju sumber (yang telah didefinisikan bertanda positif), maka kecepatan sumber atau pendengar pada Persamaan (5) bertanda negatif.

Intensitas Gelombang Bunyi (Sumber titik)

Jika sumber bunyi dapat dipandang sebagai sebuah titik, intensitas bunyi pada jarak r dari sumber bunyi akan berbanding terbalik dengan r². Hal ini dapat diperoleh berdasarkan hukum kekekalan energi: jika daya yang keluar dari sumber bunyi adalah P,aka intenitas I₁  yang melalui bola yang berjejari r₁ dengan luas penampang πr₁²adalah

Dengan cara yang sama, intensitas I₂ yang melalui bola yang berjejari r₂ dengan luas penampang πr₂² adalah

Secara umum, jika sumber bunyi berbentuk titik mengeluarkan bunyi dengan daya P, maka besarnya intensitas I pada jarak r dari sumber bunyi itu adalah

Jika tidak ada energi yang hilang di antara kedua bola yang berjejari r₁ dan r₂ maka daya P harus sama. Oleh karena itu,

atau

Gambar 1: Sumber Bunyi akan menyebar ke segalah arah, besarnya berbanding terbalik dengan kuadrat jarak

Intensitas Gelombang Bunyi

Sebagaimana gelombang pada umumnya, gelombang bunyi yang merambat juga memindahkan energi dari satu tempat ke tempat lain. Intensitas gelombang, dengan simbol I didefinsikan sebagai energi rata-rata yang dipindahkan oleh gelombang per satuan waktu per satuan luas. Jadi, intensitas merupakan daya rata-rata per satuan luas. Akan tetapi, daya sama dengan hasil kali antara gaya dan kecepatan. Oleh karena itu, daya per satuan luas pada gelombang bunyi yang merambat dalam arah sumbu-x sama dengan hasil kali antara perubahan tekanan p (gaya per satuan luas) dan kecepatan partikel v_y. Untuk gelombang bunyi yang dinyatakan dengan Persamaan (1),  perubahan tekanan p dinyatakan dengan Persamaan p = BkA cos (ωt - kx). Kecepatan partikel v_y  adalah turunan parsial terhadap waktu dari :

Dengan demikian,

Seperti telah diuraikan di atas, intensitas merupakan harga rerata dari pv_y. Nilai rerata dari cos² (ωt - kx) pada satu periode T = 2π/ω adalah ½. Dengan demikian,

Dengan mengingat k = ω/v dan  

 

Persamaan (1) menjadi

Persamaan (2) menunjukkan bahwa intensitas I sebanding dengan kuadrat amplitudo pergeseran A. Dengan mengingat amplitudo tekanan p_maks= BkA dan k = ω/v  Persamaan (2) menjadi

Sebagai alternatif, Persamaan (4) dapat dinyatakan dalam bentuk

Gelombang Bunyi pada Pipa Organa Tertutup

Pipa organa tertutup adalah pipa organa yang salah satu ujungnya tertutup. Gambar 1 menunjukkan penampang pipa organa yang terbuka di ujung atas dan tertutup di ujung bawah. Ketika pipa organa tertutup ditiup, ujung terbuka merupakan titik perut, tetapi ujung tertutup merupakan titik simpul. Jarak antara titik perut dan titik simpul yang berdekatan adalah seperempat panjang gelombang. Gambar 3.3(a) menunjukkan pola frekuensi dasar atau frekuensi dasar, f₁. Panjang pipa L = λ/4 atau λ = 4L. Frekuensi dasar f₁ dapat diperoleh berdasarkan rumus gelombang f = v/λ sehingga

Persamaan (1) menunjukkan bahwa frekuensi dasar pipa organa tertutup sama dengan setengah frekuensi dasar pipa organa terbuka yang panjangnya sama. Dalam istilah musik, titi nada pipa organa tertutup adalah satu oktaf lebih rendah daripada titi nada pipa organa terbuka yang panjangnya sama.

Gambar 1 Penampang pipa pipa organa tertutup yang menunjukkan pola (a) harmonik pertama, (b) harmonik kedua, dan (c) harmonik ketiga.

Gambar 1(b) menunjukkan pola harmonik kedua, dengan panjang pipa L = 3λ/4 atau λ = 4L/3. Pola harmonik ini memiliki frekuensi f₃ yaitu:

Gambar 1(c) menunjukkan pola harmonik ketiga, dengan panjang pipa L = 5λ/4 atau λ = 4L/5. Pola harmonik ini memiliki frekuensi f₅ yaitu:

Secara umum, panjang gelombang yang mungkin dimiliki pipa organa tertutup diberikan oleh persamaan

Frekuensi-frekuensi harmonik pipa organa tertutup diperoleh berdasarkan rumus gelombang f_n= v/λ_n yaitu

Dengan f₁diberikan oleh Persamaan (3). Dalam pipa organa tertutup,  harmonik kedua, harmonik keempat, dan semua harmonik genap tidak muncul. Dengan kata lain, dalam pipa organa tertutup yang mungkin terjadi hanya harmonik-harmonik gasal.